文档介绍：数学三考研真题答案
【篇一：最新考研数学三(2003-2013年)历年真题+答案详解】
s=txt>数学三试题
一、 填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕
1??
?xcos,假设x?0五、〔此题总分值8分〕 计算二重积分i?
?(xe??d
2
?y2??)
sin(x2?y2)dxdy.
其中积分区域d={(x,y)x2?y2??}.
六、〔此题总分值9分〕
x2n
求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.
2nn?1
?
n
七、〔此题总分值9分〕
设f(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.
(1) 求f(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出f(x)的表达式. 八、〔此题总分值8分〕
设函数f(x)在[0，3]上连续，在〔0，3〕内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=??(0,3)，使f?(?)?0.
九、〔此题总分值13分〕 已知齐次线性方程组
?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn??
?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn
??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn
?0,
?0,?0, ?0,
其中
?a
i?1
n
i
?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解；
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、〔此题总分值13分〕 设二次型
222
f(x1,x2,x3)?xtax?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，
中二次型的矩阵a的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b的值；
(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、〔此题总分值13分〕 设随机变量x的概率密度为
?1
,假设x?[1,8],?
f(x)??3x2
其他;??0,
f(x)是x的分布函数. 求随机变量y=f(x)的分布函数.
十二、〔此题总分值13分〕
设随机变量x与y独立，其中x的概率分布为
x~????，
??
而y的概率密度为f(y)，求随机变量u=x+y的概率密度g(u).
?12?
2003年考研数学〔三〕真题解析
一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕
1??
?xcos,假设x?0,
〔1〕设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2. x
假设x?0,??0,
【分析】 当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.
【详解】 当??1时，有
11???1
??xcos?x??2sin,假设x?0,
f?(x)?? xx
假设x?0,?0,?
显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续.
x?0
〔2〕已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2? 4a6 .
【分析】 曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.
【详解】 由题设，在切点处有
2
y??3x2?3a2?0，有 x0?a2.
又在此点y坐标为0，于是有
3
0?x0?3a2x0?b?0,
222
故b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.
【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 〔3〕设a0，f(x)?g(x)??
?a,假设0?x?1,
而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=a2 .
?0,其他，d
【分析】 此题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】 i? =a
??f(x)g(y?x)dxdy=
d
0?x?1,0?y?x?1
??a
2
dxdy
2
?
1
dx?
x?1
x
dy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.
1
【评注】 假设被