文档介绍：非平稳和季节时间序列模型分析方法
在第四章中,我们介绍了非平稳时间序列模型,但是在前面的讨论中,对于时间序列的特性分析,以及模型的统计分析都集中于平稳时间序列问题上。本章将介绍几个非平稳时间序列的建模方法,并且分析不同的非平稳时间序列模型的动态性质。
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§ ARIMA模型的分析方法
ARIMA模型的结构
具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均(Autoregressive Integrated Moving Average),简记为ARIMA(p,d,q)模型:
()
式中:
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式()可以简记为:
式中, 为零均值白噪声序列。
由式()显而易见,ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。这一关系意义重大,这说明任何非平稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳,就可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟,这意味着对差分平稳序列的分析也将是非常简单、非常可靠的了。
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()
例如,设ARIMA(1,1,1)模型
(1,1,1)模型一个模拟数据,样本容量为200,可以看出时间趋势是非常明显的。。经过一阶差分我们看到下降的时间趋势被去掉,新的序列看起来是平稳的。
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ARIMA(1,1,1) 模拟数据的一阶差分数据
求和自回归移动平均模型这个名字的由来是因为阶差分后序列可以表示为:
式中,即差分后序列等于原序
列的若干序列值的加权和,而对它又可以拟合自回归移动平均(ARMA)模型,所以称它为求和自回归移动平均模型。
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特别地,
当d=0时,ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型;
当p=0时,ARIMA(o,d,q)模型可以简记为IAM(d,q)模型;
当q=0时,ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(p,d)模型.
当d=1,p=q=0时,ARIMA(0,1,0)模型为:
()
该模型被称为随机游走(Random Walk)模型。
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随机游走模型的产生有一个有趣的典故。它最早于1905年7月由卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)在《自然》杂志上作为一个问题提出:假如有一个醉汉醉得非常严重,完全丧失方向感,把他放在荒郊野外,一段时间之后再去找他,在什么地方找到他的概率最大呢?
考虑到他完全丧失方向感,那么他第步的位置将是他第步的位置再加一个完全随机的位移。用数学模型来描述任意时刻这个醉汉可能的位置,即为一个随即游走模型()。
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1905年8月,雷利爵士(Lord Rayleigh)对卡尔·皮尔逊的这个问题作出了解答。他算出这个醉汉离初始点的距离为至的概率为:
且当n很大时,该醉汉离初始点的距离服从零均值正态分布。这意味着,假如有人想去寻找醉汉的话,最好是去初始点附近找他,该地点是醉汉未来位置的无偏估计值。
作为一个最简单的ARIMA模型,随机游走模型目前广泛应用于计量经济学领域。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机游走模型,随机游走模型也是有效市场理论(Efficient Market Theory)的核心。
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ARIMA模型的性质
一、平稳性
假如服从ARIMA(p,d,q)模型:
式中:
记, 被称为广义自回归系数多项式。显然ARIMA模型的平稳性完全由的根的性质决定。
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