文档介绍：§ 函数的单调性 x yo )(xfy?x yo )(xfy?ab A B0)(??xf0)(??xf 一、单调性定理: ,则有内可导在若函数),()(baxfy?ab B A 内单调增加; 在,那末如果) (),()()(baxfyxf???01 单调减少。内在,那末如果),()()()(baxfyxf???02 证: 上满足拉氏定理条件, 在都对])( 21 21,xxxfbaxx[ ),,(???)() )(()()( 2112 12xxxxfxfxf?????????0 12??xx?001?????)()(?fxf) ( 0 12???)()(xfxf 内单调增加。在),()(baxfy??002?????)()(?fxf) ( 0 12???)()(xfxf 内单调减少。在),()(baxfy??例1、解: 的单调性讨论函数 1???xey ??? xey?,)0,(内在??,0??y 函数单减; ?,),0(内在??,0??y 函数单增。?注意:单调性是函数在一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号来判别。).,( ?????D 函数定义域?????????00 0 12 2x xx xxxf, , sin )(如01 1210 0???????) sin ( lim )( /x x f x???0 12 141?????xxx xxf, cos sin )(但0212 1????)(?k f 02 2 412 2 1??????????kk f)(k 可以任意大,故在 0点的任何邻域内, )(xf 都不单调。二、单调区间求法通常函数在定义区间上不一定单调,但会在部分区间内单调。定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间导数为零的点(驻点)和不可导点,可能是函数单调区间的分界点。称为函数的单调区间。单调区间求法: 可疑点,解出可疑点; 数求导)()( /xf2 (1) 确定函数定义域; (3) 用可疑点划分函数定义区间为部分区间,列表; (4) 在各部分区间内判断导数的正负性,得出函数的单调区间。例2、解: 的单调区间确定函数 3 12 92 23????xxxxf)(),( ?????D 函数定义域 12 18 6)( 2????xxxf)2 )(1(6???xx 21 21??xx, 可疑点只有驻点)(xf ?)(xf单增区间为, ),(1 ??单减区间为+ —+ ),(21 ),( ?? 2),(21 , ),(1 ??),( ?? 2 例3、解: ),( ?????D 函数定义域 3 3 311 1x xx xf ?????)(10 21??xx, 可疑点单减区间为, ),(0 ??单增区间为+ —),(10 )(xf ?)(xf ),( ?? 1),(10 ),(0 ??),( ?? 1 的单调区间确定函数 xxxf?? 322 3)(—例4、证: ) ln( xxx???10 时,恒有试证),1 ln( )(xxxf???设)()(001 ?????xx xxf则,),[)( 上单调增加在???0xf)()(00fxfx???时,,) ln(01???xx即成立。时, ) ln( xxx???10 注意:区间内个别点导数为零,不影响函数在该区间的单调性如:, 3xy?,0 0???xy 上是单调增加的。而函数在),( ????三、小结 1、单调性判别法则来源于拉格朗日中值定理。 2、定理中的区间换成闭区间或无限区间,结论也成立。 3、利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式。一、填空题: 1、函数xxxy 12 6 23???的单增区间为________ ; 2、函数21 2x xy??在区间[- 1,1] 上单调________ , 在_________ 上单调递减; 3 、函数22 lnxxy??的单增区间为____________ , 单减区间为_____________ 二、确定下列函数的单调区间: 1、xxx y 12 92 1 23???; 2、3 2) )(2(xaaxy??? (0?a ); 3、xxy2 sin ??.练习题四( 3)