文档介绍：一、多项式函数与根一、多项式函数与根二、多项式函数的有关性质二、多项式函数的有关性质一、多项式函数与根 1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a ?? ????设数,p??将 的表示式里的用代替,得到 P中的数( ) f x x? 1 0 1 , n n n a a a ? ??? ??? 称为当 时 的值,记作( ) f x ( ). f? x??这样,对 P中的每一个数,由多项式 确定 P 中唯一的一个数 与之对应,于是称 为P上的一个多项式函数.?( ) f x ( ) f?( ) f x 若多项式函数在处的值为 0,即( ) f x x??( ) 0, f??则称为的一个根或零点.?( ) f x 2. 多项式函数的根(或零点) 易知,若 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), h x f x g x h x f x g x ? ? ? 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). h f g h f g ? ?????? ? ?则, (余数定理):用一次多项式去除多项式 x??所得余式是一个常数,这个常数等于函数( ), f x 值( ). f?二、多项式函数的有关性质 7是的根?( ) f x ( ) | ( ). x f x ?? ?推论: 例1 求在处的函数值. 4 2 ( ) 4 9 f x x x x ? ??? 3x ??法一: 把代入求3x ??( ), f x ( 3). f?用去除所得余数就是 3x?( ), f x ( 3). f?法二: ( 3) 69 . f ? ?答案: 若是的重因式, 则称为 x??( ) f x k ?的 重根. ( ) f x k 当时,称为的单根. 1k??( ) f x 当时,称为的重根. 1k??( ) f x 2. 多项式函数的 k重根定义注: ①是的重根是的重因式. ?( ) f x x?? ?( ) f x ②有重根必有重因式. ( ) f x ( ) f x ?反之不然,即 有重因式未必有重根. ( ) f x ( ) f x 2 2 ( ) ( 1) [ ], f x x R x ? ??例如, 为的重因式,但在 R上没有根. ( ) f x ( ) f x 21x? 8 ( 根的个数定理) 任一中的次多项式在中的根[ ] P x n ( 0), n? P 不可能多于个,重根按重数计算. n 9 且( ), ( ) [ ], f x g x P x ?????( ) , ( ) , f x g x n ? ??若有使 1 2 1 , , , nP ? ?????( ) ( ), 1, 2, , 1 i i f g i n ? ?? ???则( ) ( ). f x g x ?证:设??( ) [ ], ( ) 0 f x P x f x ? ??若即??( ) 0, f x ? ?( ) 0, f x c ? ???( ) f x n ? ?时,由因式分解及唯一性定理, ( ) f x 可分解成不可约多项式的乘积, 由推论, 的根的个数等于分解式中( ) f x ( ) f x 一次因式的个数,重根按重数计算,?此时对有,P?? ?( ) 0. f c ?? ?即有0个根. ( ) f x 定理定理 8 8 证:令则有( ) ( ) ( ), h x f x g x ? ?( ) 0, 1, 2, , 1, i h i n ?? ? ??由定理8,若的话,则( ) 0 h x ???( ) . h x n ? ?矛盾. 所以, ( ) 0, h x ?即有( ) h x 1