文档介绍：2017-2-21 Algebraic Signal Processing Theory:1-D Space Markus Puschel, Senior Member, IEEE, and Jose . Moura,Fellow, IEEE IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING, ,,AUGUST 2008 2017-2-21 主要内容有限斜交的 C- 变换和斜交的 DTTs 引言代数信号处理理论无限一维空间模型有限一维空间模型和 DTTs 结论有限空间模型的概述摘要摘要在“基础和一维时间”一文中,我们提出代数信号处理理论是信号处理理论的推广。在该理论中最基本的概念是一个三元信号模型,其中为选定的滤波器的代数, 是与信号相关的-模, 是 z-变换的推广。每一个信号模型都有自己的一系列基本的 SP概念,包括滤波,谱和傅里叶变换。例子有我们常见的有限和无限信号模型。在这篇文章中,我们利用代数理论来建立有限和无限空间模型。不同于标准时间移位的是我们的信号模型是建立在一个对称的空间移位算子上的。我们给出空间信号处理中滤波或者卷积, “ z-变换”,谱和傅里叶变换。对于有限长度的空间信号,我们得到了 16个不同的空间模型,它们以 16个离散余弦和正弦变换为傅里叶变换。利用这种新的推 2017-2-21 ( , , ) A M ? AM A? 2017-2-21 导,我们给出了与 DCTs/DSTs 相关的未定义的信号处理中的概念, 将它们建立为与 DFT 相类似的一类变换,深入了解其起源并找到包括快速算子在内的很多性质的简便推导。关键词代数,边界条件, Chebyshev 多项式,卷积,离散余弦变换,离散正弦变换,傅里叶变换,模,表示论,变换,信号延拓, 信号模型。一、引言标准线性信号处理中考虑的是以时间(连续或离散)为自变量的时不变系统或滤波器。与 SP相关的(离散)时间移位算子通常定义为 (1) 1 n n q t t ?? ?通过该移位的定义,我们可以推导出线性卷积的公式,无限长信号或循环卷积的傅里叶变换,有限长信号的离散傅里叶变换。本文中我们表明一个可选的 SP框架可以从移位算子的不同定义中推导出来。与(1) 中的时间移位的直接作用不同的是,这个算子的作用是间接的并且是对称的。因此, 我们称之为空间移位,定义如下 (2) 2017-2-21 ?? 1 1 12 n n n q t t t ? ?? ? ?据此,我们为有限和无限长空间 SP信号推导出了适合的概念,比如滤波或卷积, “ z-变换”谱,傅里叶变换,频率响应等。在有限时间情况下,我们解释了研究边界条件的必要性。在这篇文章中,我们将 DCTs 和 DSTs 等价于离散三角变换,尽管 DTTs 所含元素更多(它包含了实 DFT 和离散 Hartley 变换)。我们说明,在其他领域比如动力系统中,经常考虑移位的不同的定义。我们将空间 SP作为代数信号处理理论的实例,在文献【1】和【6】中, ASP 是线性 SP的一般化和公理理论。 ASP 的核心是定义为三元数的信号模型,其中是 2017-2-21 ( , , ) A M ? A 滤波器空间(一个代数), 是信号空间(一个 A-模), 是 z-变换概念的推广。很多信号模型在理论上是可以定义自己的包括滤波,谱,或傅里叶变换在内的一系列 SP概念的。 ASP 为有限信号和移不变模型建立了上述概念, A和M 是多项式代数,即以关于一个固定的多项式的模为乘法运算的多项式空间。例如,对于以 DFT 作为傅里叶变换的有限时间模型, 。在文献【1】中,我们解释了如何从移位的定义推导出信号模型。应用时间变换(1) 产生了我们熟悉的无限和有限时间信号模型。在这篇文章中,我们从空间变换(2) 来推导信号模型。我们明确并定义 C-变换作为合适的“ z-变换” 2017-2-21 M ?[ ] / ( ) C x p x [ ] / ( 1) n A M C x x ? ? ?并且表明,对于有限空间信号, 16个 DTTs 就是合适的空间傅里叶变换。正如所期望的,以 DTT 为基础的有限空间信号模型也是建立在多项式代数基础之上的。用代数信号处理理论解释 DTTs 的一