文档介绍：平面几何新思索
【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作： △FBA∽△MOP，△EAC∽△△ABC的重心。求证:△GEF∽△OPQ。
上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探究,O′F′，HF共点。
由Schoute共轴圆系知，以OK为直径的圆（Brocard圆）和过J，J′两点的圆正交，由此易说明O，K；J，J′四点构成调和点列，即G（O,K；J，J′）构成调和线束。 因此，要证明结论1,改为证明（1）G，F，J′共线和（2)GK平分J F就可以了.（精品文档请下载）
以以下图中又画出了Napoleon点N、第二Napoleon点N′.和结论4相结合，可推得如下进一步结论：（精品文档请下载）
“N，H，J共线；N′，H，J′也共线。”
结论5 三角形的Mittonpunkt和Spieker点、垂心H三点共线。
结论6 垂三角形DEF的垂心P和Spieker点Q，都在原三角形ABC的外心Ｏ和类似重心Ｋ的连线（Brocard轴）上。（精品文档请下载）
结论7 切点三角形DEF的九点圆心（图中标为P），和垂心H及Gergonne点Ge三点共线。
【040310】今在几何画板4。04版中创立了20个工具。但不知如何调整工具的次序。
现象 设△ABC中，外心为O，垂聚点为X，:∠OYX总是钝角.
现象 ，其轨迹是奇怪而漂亮的曲线-—像拿破仑的帽子（轴对称！）。这曲线不久前似曾相识，但却想不起来了.（精品文档请下载）
现象 当一条直线绕定点P旋转，（前年在钦州南路时曾考虑过，但未获本质性结论。当P取外心时,椭圆成为九点圆;当P在外接圆上时,椭圆变成Simson线,借此而得到一个三线共点的结论，曾给田廷彦做。后发如今梁绍鸿习题中有一个相关的题： “设H是△ABC的垂心，M,N是外接圆上两点,P是这两点的西摩松线的交点，K是H关于P的对称点。求证：△KMN的垂心L在的外接圆上，且L对于△ABC的西摩松线垂直于MN而通过P点。
”复习题三№53)。（精品文档请下载）
今觉察：当且仅当P在△形内（外)时，P在椭圆形内（外）。问:P取什么点时,成为三角形的内切椭圆（有无可能性）？可退而考虑何时和三角形一边相切。 （精品文档请下载）
猜测:当P和P′关于外接圆互为反演点时,所对应的椭圆离心率是一样的，甚至是位似的！
【040312】2月26日考虑了如以以下图形：
现象 同时作△ABC的内接、外接三角形,使它们位似于所给三角形DEF.
当△DEF旋转时，内、外接的两个位似三角形的位似中心（聚点）P的轨迹是二次曲线。
而当E，F不动，仅仅D点运动时，P点的轨迹是一条直线。
现象 考虑如下面上某点P，作PA，PB，PC的垂线，分别和对边BC，CA,AB交于X，Y，Z点,那么X
，Y,Z三点一定共线。”今探究得当P在外接圆上时,所共线过外心。由此编成如下题目：（精品文档请下载）
题目 设P是△ABC外接圆上任一点，作PA，PB,PC的垂线,分别和对边BC，CA，AB交于D，E,F点,那么D，E，F和外心O四点共线.（精品文档请下载）
此题看来并非显然，今上午给田廷彦做，田看出这实际上是Pascal定理（对自交型圆内接六边形而言）。
田说他近日得到如下简单结论：
结论 设BE，CF是△ABC的角平分线，那么EF过重心G的充要条件是。
特别地，当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时（即∠A＝,∠B＝,∠C＝），求证：G,E，F共线。
这个结论用重心坐标很容易解释。
现象 考虑三角形ABC，当底边BC及外接圆固定,、垂聚点X、切聚点Y都为椭圆;Spieker点，Mittonpunkt为两个8字曲线（当中那点恰重合！)；Brocard点像水珠形；而Napoleon点很复杂，就像拿破仑的帽子。（精品文档请下载）
【040314】今用几何画板画“迭代"、“科赫雪花”及旋转的“正六面体"：
【040319】前天晚上给出“非钝角三角形的外心至三边的间隔 和，等于外接圆和内切圆的半径和”（《梁绍鸿》复习题三№14)一题的另外一种纯几何证法。只需证Rt△BFD≌Rt△DJI。再注意MF方向即可。（在△EBC中,MF平行于∠E的平分线，根据阿基米德的结论,BF就等于EB＋EC之半，而EB＋EC正等于HB＋HC，即O到相应两边间隔 之和的两倍。）由此DJ等于O到AB，AC两边间隔 之和.
（精