文档介绍：二次函数与面积计算问题
第1页，共41页，编辑于2022年，星期四
例1:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P，
S△ AOC=______________
辑于2022年，星期四
A
B
M
P
O
N
x
y
x＝m
y＝x
3．如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，
A、B的横坐标分别为－1和4。
（1）求此抛物线的解析式。
（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜
＋1）与抛物线交于点M，
（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM
的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。
与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。
抛物线的解析式为y＝x 2－2x－4
MN＝MP＋PN＝－m 2＋3m＋4
当m＝，S有最大值。
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如图，二次函数 图象与轴x交于A,B两点
(A在B的左边)，与 y轴交于点C，顶点为M ， 为
直角三角形, 图象的对称轴为直线 ，P点是
抛物线上位于A、C两点之间的一个动点，
则 的面积的最大值为（ ）
C
（西湖区2011学年第一学期期末测试）
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P
-3
-1
3
Q
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P
Q
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例2. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的
顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕
点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），
抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
-3
B
A
x
y
O
2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1
3
4
5
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-3
B
A
x
y
O
2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1
3
4
5
P
(1)∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)
D（0，4）代入上式
（2）S△PAB＝S四边形PEOB－ S△AOB－ S△PEA＝6
（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）
∴y＝±2．
E
C
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练****1．已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为
时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，
使得△PAB的面积为
？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵△＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）设x1、x2是x 2＋ax＋a－2＝0的两个根
则x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．
∵此函数图象与x轴的两个交点的距离为
∴(x1－x2)2＝13．即(x1＋x2)2－4x1x2＝13．∴(－a)2－4(a－2)＝13，
整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5．
∵a ＜0，∴a＝－1．
∴此二次函数的解析式为y＝x 2－x－3．
（3）设点P的坐标为（x，y）
∴|y|＝3，∴y＝±3 再得x＝－2或x＝3；x＝0或x＝1
P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）
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B
A
O
Q
P
x
y
2．已知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0的两个实数根，且t1＜t2，
抛物线y＝
x 2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，
使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
（1）求这个抛物线的解析