3.4--多元线性回归.pdf

文档介绍：§ 多元线性回归模型的预测
一、E(Y0)的置信区间
二、Y0的置信区间
对于模型
Yˆ  Xβˆ
给 定 样 本 以 外 的 解 释 变 量 的 观 测 值§ 多元线性回归模型的预测
一、E(Y0)的置信区间
二、Y0的置信区间对于模型
Yˆ  Xβˆ
给 定 样 本 以 外 的 解 释 变 量 的 观 测 值
X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预
测值：
ˆ ˆ
Y0  X 0β
它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。
但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估
计值，而不是预测值。
为了进行科学预测，还需求出预测值的置信
区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。一、E(Y0)的置信区间
易知
ˆ ˆ ˆ
E(Y0 )  E(X 0β)  X 0 E(β)  X 0β E(Y0 )
ˆ ˆ 2 ˆ ˆ
Var (Y0 )  E(X 0β X 0β)  E(X 0 (ββ)X0 (ββ))
ˆ ˆ ˆ
Var(Y0 )  E(X 0 (ββ)(ββ)X0 )
ˆ ˆ
 X 0 E(ββ)(ββ)X0
2 1
  X 0 (XX) X0容易证明
ˆ 2 1
Y0 ~ N(X 0β,  X 0 (XX) X0 )
Yˆ  E(Y )
0 0 ~ t(n  k 1)
1
ˆ X0 (XX) X0
于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：
ˆ 1 ˆ 1
Y0  t  ˆ X 0 (XX) X0  E(Y0 )  Y0  t  ˆ X 0 (XX) X0
2 2
其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。二、Y0的置信区间
如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：
ˆ
e0  Y0  Y0
容易证明
ˆ
E(e0 )  E(X 0β  0  X 0β)