文档介绍：黎曼ζ函数ζ(s )的定义如下: 设一复数 s ,其实数部份>1 而且: 它亦可以用积分定义: 在区域{s: Re( s)> 1} 上, 此无穷级数收敛并为一全纯函数。(上式中 Re 表示复数的实部。)。欧拉在 1740 考虑过 s 为正整数的情况, 后来切比雪夫拓展到 s>1 。[1] 波恩哈德· 黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s,s≠ 1 )上的全纯函数ζ(s )。这也是黎曼猜想所研究的函数。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关, 它也出现在应用统计学中( 参看齐夫定律( Zipf's Law )和齐夫- 曼德尔布罗特定律( Zipf-Mandelbrot Law )),还有物理,以及调音的数学理论中。和素数的关系[编辑] 主条目: 证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式此函数和素数的关系已由欧拉所揭示: 这是一个延展到所有的质数 p的无穷乘积,被称为欧拉乘积。这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。ζ(s) 的零点很重要, 因为特定的涉及到函数 ln(1/ ζ(s ))的路径积分可以用来估算质数个数函数π(x)。这些路径积分用留数定理计算, 所以必须知道被积式的奇异点。我们可以用莫比乌斯函数μ(n )表达ζ函数的倒数如下对于所有实部>1 的复数 s 。这和上面ζ(2 )的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是 6/π 2。\frac{}{}== 函数值== 黎曼函数在 s>1的情况ζ函数满足如下函数方程: 对于所有 C \{0,1} 中的 s 成立。这里,Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。在s=1,ζ函数有一个简单极点其留数为1。上述方程中有 sin 函数, 的零点为偶数 s=2n ,这些位置是可能的零点,但s 为正偶数时, 为不为零的规则函数( Regular function ), 只有 s 为负偶数时,ζ函数才有零点, 称为平凡零点。当s 为正整数[编辑] 主条目: 巴塞尔问题欧拉也能计算ζ( 2k ),对于偶整数 2k ,他使用公式其中 B 2k是伯努利数。从这个,我们可以看到ζ(2) =π 2 /6, ζ(4) = π 4 /90, ζ(6) =π 6 /945 等等。( 序列 A046988 / A002432 列在