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泰勒公式的几点简单应用
1定理
设在=0处存在+1阶的连续导数,那么有：
=++2+ ・ ++ (),
其中()=,上式为函数在=0点处的关于的展开式,称为泰 勒精品资料，欢迎大家下载！
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泰勒公式的几点简单应用
1定理
设在=0处存在+1阶的连续导数,那么有：
=++2+ ・ ++ (),
其中()=,上式为函数在=0点处的关于的展开式,称为泰 勒公式,其中()叫皮亚诺余项(Peano) O
证明：作辅助函数：
=2…,易知,在［0,］或者［,0］上是连续的,并且有：=,=0,
=O
又引入一个辅助函数：()=,利用柯西定理可得： =,而
应在0到之间,那么有：
=,=0,=()
=, =o? = 0
将这些结论都代入到由柯西定理得到的等式中得：
=,又由于
==0 ,
•••()=
2常见的初等函数的泰勒公式
当时,有：
(1 ) =1+ + +• •+ +
=+••++
=1+-++
(1+ ) =1+++•••++
1n+ (1+) =+••.++
利用如上的一些常用公式可以将一些较复杂的极限变得简 单易求.
3利用泰勒公式求解未定式及特殊的极限
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假设在=0处存在阶可导,且有带皮亚诺余项的泰勒公式, 即：
=++2+…++
当有：=0时,且有：=+ , =+ ,那么有：
==(乒0 ).
例1:求=
解：由于 +1= , +1 (1+24 ) + ,
=(12) (1+2) +=2+
又由于,当TO时,〜,从而
==.
例2:求
解：当时,由于1 ,又由1n (1 +) =+,从而,
原式==o
利用泰勒公式还可以求解极限中的参数.
,使：()=0
解：由于=2= 2++?%八,其中？％八=0,所以=(2) ( +) ++?%八, 由此可知,欲使：
()=［(2) (+) ++?%八］=0 ,
那么有：=2 ,=.
由此易知,当xT +8时,曲线=以直线=2为斜渐近线.
4利用泰勒公式证明函数或导数存在特殊点
有时要证某点满足某等式时, 常常利用泰勒公式,而所要找 的点一般为式中的中间值点.
例4:在［a, b］满足三次可导,试证：？HRC (a, b), 有：
=+ () + () 3・().
证明：将在=处展开成二阶的泰勒公式,再分别取和代入得：
=+ () + () 2+
()()3
=+ () + () 2+
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()()3
满足,e (,)从而可得：
=()+[ () + () ] () 3,
由于[()+ ()]介于()和()之间,从而？HRC
(a, b),
满足
()=,
故：=+ () + () 3().
,使极限存在,其中=++•••+ ,乒0,为自然数.
解：令()=+•••+,那么有：
==+ () +,其中：=0,由于存在,而
=(),
故有=0,所以=.
5利用泰勒公式证明不等式
通过估计泰勒公式的