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2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
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★祝考试顺利★
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将
16.（本小题满分12分）
己知ZXABC的面积为3,且满足0〈而辰<6,设而和京的夹角为。。
（1） 求。的取值范围；
（2） 求函数/•（。）= 2细2（§+ « —0COS2。的最大值与最小值。
-4bz是实数，则有序实数对（。,0）可以是_
.（写出一个有序实数对即可）
17.（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数 据分组如右表:
（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图;
（2） 估计纤度落在［1. 38, 1. 50）中的概率及纤度小于1. 40的概率是多少；
（3） 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间［1. 30, 1. 34）的中
点值是1. 32），估计纤度的期望.
分组
频数
[1. 30, 1. 34)
4
[1. 34, 1. 38)
25
[1. 38, )
30
[, )
29
[1. 46, 1. 50)
10
[1. 50, 1. 54)
2
合计
100
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥V-ABC中，ABC, AC1BC, Z）是AB的中点，且AC=BC=a,
71
avdc=o(ov6v—)。
2
（1）求证：平面以B_L平面VCD；
（2）当角。变化时，求直线BC与平面伽B所成的角的取值范围。
19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，过定点C (0, p)作直线与抛物线J =2py (p>0)相交于
A, B两点。
(1)若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求U ANB面积的最小值；
(2)是否存在垂直于y轴的直线7,使得1被以AC为直径的圆截得的弦长恒定为定值?
若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由。
(此题不要在答题卡上画图)
20.(本小题满分13分)
, 1 ,
已知定义在正实数集上的函数f(x) = —x2 +2ax , g(x) = 3。" lnx + 力，其中。>0。
设两曲线y = f{x), y = g(x)有公共点，且在该点处的切线相同。
用。表示力，并求力的最大值；
求证：/(x) > g(x) (x>o)o
21.(本小题满分14分)
已知m, 〃为正整数。
（1） 用数学归纳法证明：当x>-l时，（1 + xf >l + mx
11 tn 1
（2） 对于n>6,已知（1 ）"<_，求证（1 m=l, 2,
n+3 2 n+3 2
（3） 求出满足等式3" + 4" +••• + （” + 2）" = （” + 3）"的所有正整数n .
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选做题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1. B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. B 7. A 8. D 9. C 10. A
二、
填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。
11.
1
6；—
2
12. （2,1）（或满足ci = 2b的任一组非零实数对（a,b））
13.
14.
15
；
共75分。
15.
128
解答题:
本大题共6小题,
16.
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本 知识，考查推理和运算能力。
解：（1）设UABC中角A, B,。的对边分别为a, b, c
分组
频数
频率
则由—be sin0 -3 , 0<bccos6 <6 ,可得 OVcotOVl, 2
[,)
4
[,)
25
[,)
30
[,)
29
[,)
10
[,)
2
合计
100
频率/组即