文档介绍：1 第五章正交小波构造 正交小波概述 由)( 0nh 递推求解)(t?的方法。 消失矩、规则性及支撑范围 Daubechies 正交小波构造 接近于对称的正交小波及 Coiflet 小波我们在前面中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析,证明了在空间 0V 中存在正交归一基} ),({Zkkt???,由)(t?作尺度伸缩及位移所产生的}, ),({ ,Zkjt kj??是 jV 中的正交归一基。)(t?是尺度函数, 在有的文献中又称其为“父小波”。同时,我们假定 jV 的正交补空间 jW 中也存在正交归一基}, ),({ ,Zkjt kj??, 它即是小波基,)(t?为小波函数, 又称“母小波”。本章,我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t?。所谓“正交小波”, 指的是由)(t?生成的} ),({Zkkt???,或 jW 空间中的正交归一基}, ),({ ,Zkjt kj??。 Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本 2 章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是 Haar 小波,二是 Shannon 小波。 小波我们在 4..1 节中已给出 Haar 小波的定义及其波形, Haar 小波的尺度函数)(t?。重写其定义,即???????0 1 1)(t?其它 12/1 2/10????t t () ????0 1)(t?其它 10??t () 显然,)(t?的整数位移互相之间没有重叠,所以)()( ),( ''kkktkt???????,即它们是正交的。同理, )()( ),( ', ,kktt kj kj?????。很容易推出)(t?和)(t?的傅里叶变换是 3 4/ 4/ sin )( 22/????j je ???2/ 2/ sin )( 2/????je ???注意式中?实际上应为?。由于 Haar 小波在时域是有限支撑的, 因此它在时域有着极好的定位功能。但是,由于时域的不连续引起频域的无限扩展,因此,它在频域的定位功能极差,或者说频域的分辨率极差。 Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是: 因此有???????2 1,2 1)( 0nh ,????????2 1,2 1)( 1nh () 4 它们是最简单的两系数滤波器。 小波令t tt??? sin )(?() 则?????0 1)(?其它???() 由于????????????dktkt kk)()(2 1)( ),( ,0 *,0 ')(2 1 ')(kkde kkj?????????????() 所以?? Zkkt??),(?构成 0V 中的正交归一基。)(t?称为 Shannon 小波的尺度函数。由于 0,0)(Vt k??, 100???VWV ,由二尺度性质, 1)2(Vkt???,因此??????0 1)( ,1? k其它??2?() 这样,对 0)(Wt??,有?????0 1)(?其它???2??(.) 5 于是可求出)2/3 cos( )2/ 2/ sin ()(tt tt?????() 读者可很容易验证)()( ),( ''kkktkt???????() 也即} ),({Zkkt???构成 0W 中的正交归一基。其实,从频域可以看到, )( ,? kj?和)( ,? kj?各自及相互之间的整数移位都没有重叠,因此它们是正交的,如图 所示。 4?4??)( ,2? k? 2V? 2?2??)( ,2? k? 2W 4??4?????)( ,1? k? 1W 2??2??)( ,1? k? 1V2??2?? 6 图 Shannon 小波及其尺度函数度频域波形显然, Shannon 小波在频域是紧支撑的,因此,它在频域有着极好的定位功能。但频域的不连续引起时域的无限扩展, 也即时域为 Sinc 函数。这样, Shannon 小波在时域不是紧支撑的,有着极差的定位功能。 Haar 小波和 Shannon 小波是正交小波中两个极端的例子。自然, 我们欲构造的正交小波应介于两者之间。以前给出了能作为小波的函数)(t?的基本要求,即:)(t?应是带通( 高通)的; 由于??0)(dtt?, 因此它应是振荡的;)(??应满足容许条件;)(??还应满足稳定性条件;此外, )(t?、)(??最好都是紧支撑的。??? 0V?)( ,0? k?????2?)( ,0? k? 0W??2??2 )( ,1? k?? 1?V? 7 由二尺度