文档介绍：函数可积性
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第1页，共26页，编辑于2022年，星期五
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念
二、可积性条件与可积类
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一、定积分的概念
黎函数可积性
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第五讲 函数可积性
一、定积分的概念
二、可积性条件与可积类
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一、定积分的概念
黎曼积分定义：
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记作:
积分上限
积分下限
称为积分区间
定积分是 :
积分和式的极限
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[例如] 曲边梯形的面积
变速直线运动的路程
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[证]
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[解]
问：这个做法对不对？
关键：定积分的存在性
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定积分作为黎曼和式的极限，其
构造十分复杂，因此想计算这个和式
的极限来研究定积分，实际上是不可
行的. 另一途径是先研究其存在性，
首先是简化和式结构，把“两个任意”
(任分任取)简化为“一个任意”(任分)
这就是达布上和与下和的来由。
三、可积性条件与可积类
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(一)可积条件
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定义：（达布上和与下和）
达布上和
（大和）
达布下和
（小和）
[注意1] 上和、下和是被划分唯一确定的
这是上和、下和与积分和的主要区别
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[注意2] 对同一个分法，上和与下和的关系是:
2. 达布上和、下和的性质
性质1：
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[证]
因此
即
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性质2：（分点增多时，小和不减，大和不增）
其中
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[证]
只须证明增加一个新分点时，性质成立
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性质3： （下和总不超过上和）
[证]
根据性质2，有
又对划分 有
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性质3说明: 全体上和所构成的数集与全体下
和所构成的数集，都是有界集。
任何一个下和都是全体上和所构成的数集的一个下界；任何一个上和都是全体下和所构成的数集的一个上界。
下积分
上积分
性质4：（下积分不超过上积分）
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性质5：（达布定理） 对于上、下积分，有
[证]
19
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根据性质2，
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（三） 可积性条件
定理1：
[证]
必要性
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再证充分性
存在，且
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定理3：
证明思路：反证法。假设f(x)在[a,b]上无界，
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼
和式无界，与和式极限存在相矛盾.
定理2：
其中
振幅
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二、可积函数类
定理1：
定理3：
定理2：
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定理 1 的证明 :
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定理 3 的证明 :
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