文档介绍：函数的定义域与值域
第1页，共32页，编辑于2022年，星期五
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：在函数y=f(x),x∈A中，自变量x的取值范围A叫做函数的 ；对应的函数值的集合{f(x)|x ;
(5)y=x+ .
【分析】上述各题在求解之前,先观察其特点,选择最优解法.
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【解析】 (1)解法一: ,
∵1+x2≥1,∴0< ≤2,
∴-1<y= -1≤1,
即y∈(-1,1］.
解法二:由y= ,得x2= .
∵x2≥0,∴ ≥0,解得-1<y≤1.
∴y∈(-1,1］.
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(2)解法一:设 =t(t≥0),得x= ,
∴y= -t=- (t+1)2+1≤ (t≥0),
∴y∈ .
解法二：∵1-2x≥0,∴x≤ ,
∴定义域为 .
∵函数y=x,y=- 在 上均为单调递增,
∴y≤ ,∴y∈ .
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(3)解法一:当x>0时,y=x+ ≥2 =4,当且仅当x=2时,取等号;
当x<0时,
=-4,当且仅当x=-2时,取等号.
综上,所求函数的值域为(-∞,-4］∪［4,+∞).
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解法二:先证此函数的单调性.
任取x1,x2且x1<x2.
∵f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ ) = ,
∴当x1<x2≤-2或2≤x1<x2时,f(x)递增;
当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.
故当x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4;
当x=2时,f(x)极小=f(2)=4.
∴所求函数的值域为(-∞,-4］∪［4,+∞).
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(4)解法一:+ycosx=2y,即
令cosφ= 且sinφ= ,
∴sin(x+φ)= ,
平方得3y2≤1,∴- ≤y≤ .
∴原函数的值域为 .
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解法二:数形结合法或图象法.
原函数式可化为y= ,
此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点(cosx,-sinx)的轨迹方程
为x2+y2=1,如图所示 , 在
坐标系中作出圆x2+y2=1
和点(2,0).
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由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系,可设直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,
∴ 解得k=± ,
∴斜率的范围是 .
即函数y= 的值域
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(5)函数的定义域为［-1,1］.
当x∈［-1,1］时,f′(x)=
由f′(x)=0,得 -x=0,
解得x= ,x=- (舍去),∴f( )= ,
又f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(x)max=f( )= ,f(x)min=f(-1)=-1.
∴值域为［-1, ］.
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求函数值域(或最值)的常用方法