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用平面的法向量解高考立体几何试题
蒋朱海
平面的法向量在课本上有定义，考试大纲去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。
引理2 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,
向量与的夹角（见图2），则。（证略）
例3 在例1中，求直线与平面所成的角。
图 3
解析：由例1知，，，
，即。
引理3 如图3，设向量与分别是二面角
中的两个半平面，的法向量，
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则向量与的夹角的大小就是
所求二面角或其补角的大小。（证略）
例4 在例1中，求二面角的大小。
解：由例1知，平面的法向量是，平面的法向量是，
设二面角的大小为，则
，得。
说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量与的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若，
则，
于是。
如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱
按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，
若方向相反，则互补。
三、利用法向量解20XX年高考立体几何试题
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
x
y
z
图4
例5 （05江西 理）如图4，在长方体
中，AD==1，AB=2，点E在棱AB
上移动。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面
的距离；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。
分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。
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解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，
，。
（Ⅰ）证明：由，，
，有，于是。
（Ⅱ）E是AB的中点，得。
，，。
设平面的法向量为，单位法向量为，
由，解得。
于是，有。
设点E到平面的距离为，则
。
所以点E到平面的距离为。
（Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。
又，。
由，得
，解得，于是。
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设所求的二面角为，则。
有，得。
解得，
所以，当AE=时，二面角的大小为。
例6 A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
图 5
（05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥中，
底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，
E，F分别CD、PB的中点。
（Ⅰ）求证：EF平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。