文档介绍：五法求二面角一、定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1中从二面角 S—AM—B中半平面 ABM 上的一已知点( B )向棱 AM 作垂线,得垂足( F) ;在另一半平面 ASM 内过该垂足(F)作棱 AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1(2009 全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ABCD ?中, 底面 ABCD 为矩形, SD ?底面 ABCD ,2 AD ?2 DC SD ? ?,点 M在侧棱 SC 上, ABM ?=60 ° (I)证明: M在侧棱 SC 的中点(II)求二面角 S AM B ? ?的大小。证( I)略解(II) :利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF AM ?交 AM 于点 F ,则点 F 为AM的中点,过F点在平面 ASM 内作 GF AM ?, GF交AS 于G,连结 AC,∵△ ADC ≌△ ADS ,∴AS-AC ,且 M是SC的中点, ∴AM⊥SC,GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵F 为AM的中点, ∴GF是△AMS 的中位线,点 G是AS的中点。则 GFB ?即为所求二面角. ∵2?SM ,则 2 2? GF ,又∵6?? AC SA ,∴2? AM ∵2?? AB AM , 060 ?? ABM ∴△ ABM 是等边三角形, ∴3? BF 在△ GAB 中, 2 6? AG ,2? AB , 090 ?? GAB ,∴2 11 42 3??? BG 3 66 232 22 2 11 32 12 cos 222?????????????? FB GF BG FB GF BFG F GF G ∴二面角 S AM B ? ?的大小为)3 6 os( ?练****1(2008 山东)如图,已知四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD , 60 ABC ? ??,E,F分别是 BC,PC的中点. (Ⅰ)证明: AE⊥PD;(Ⅱ)若 H为PD上的动点, EH与平面 PAD 所成最大角的正切值为 62 ,求二面角 E—AF—C :第 1题容易发现,可通过证 AE⊥AD后推出 AE⊥平面 APD ,使命题获证,而第 2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱 AF上找到可计算二面角的平面角的顶点 S,和两边 SE与SC,进而计算二面角的余弦值。(答案:二面角的余弦值为 5 15 ) 二、三垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例 2)过二面角 B-FC 1-C 中半平面 BFC 上的一已知点 B作另一半平面 FC 1C 的垂线,得垂足 O;再过该垂足 O作棱 FC 1的垂线, 得垂足 P,连结起点与终点得斜线