文档介绍:: .
第一章 =b(b 为一常数),
1 2 n
那么,当 a =a =…=a 时,a ×a ×…×a 有最大值。
1 2 n 1 2 n
例如,a +a =10,
1 2
…………→…………;
1+9=10→1×9=9;
2+8=10→2×8=16;
3+7=10→3×7=21;
4+6=10→4×6=24;
+=10→×=;
5+5=10→5×5=25;
+=10→×=;
…………→…………;
9+1=10→9×1=9;
…………→…………由上可见,当 a 、a 两数的差越小时,它们的积就越大;只有当它们的差为 0,即 a =a
1 2 1 2
时,它们的积就会变得最大。
三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限,在此不一一举例。
由“积最大规律”,可以推出以下的结论:
结论 1 所有周长相等的 n 边形,以正 n 边形(各角相等,各边也相等的 n 边形)的
面积为最大。
例如,当 n=4 时,周长相等的所有四边形中,以正方形的面积为最大。
例题:用长为 24 厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何分配时,它的面积为最大?
解 设长为 a 厘米,宽为 b 厘米,依题意得
(a+b)×2=24
即 a+b=12
由积最大规律,得 a=b=6(厘米)时,面积最大为
6×6=36(平方厘米)。
(注:正方形是特殊的矩形,即特殊的长方形。)
结论 2 在三度(长、宽、高)的和一定的长方体中,以正方体的体积为最大。
例题:用 12 米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何分配,它的体积才会最
大?
解 设长方体的长为 a 米,宽为 b 米,高为 c 米,依题意得
(a+b+c)×4=12
即 a+b+c=3由积最大规律,得 a=b=c=1(米)时,长方体体积为最大。最大体积为
1×1×1=1(立方米)。
(2)将给定的自然数 N,分拆成若干个(不定)的自然数的和,只有当这些自然数
全是 2 或 3,并且 2 至多为两个时,这些自然数的积最大。
例如,将自然数 8 拆成若干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大。怎么办
呢?
我们可将各种拆法详述如下:
分拆成 8 个数,则只能是 8 个“1”,其积为 1。
分拆成 7 个数,则只能是 6 个“1”,1 个“2”,其积为 2。
分拆成 6 个数,可得两组数:(1,1,1,1,1,3);(1,1,1,1,2,2)。它
们的积分别是 3 和 4。
分拆成 5 个数,可得三组数:(1,1,1,1,4);(1,1,1,2,3);(1,1,2,
2,2)。它们的积分别为 4,6,8。
分拆成 4 个数,可得 5 组数:(1,1,1,5);(1,1,2,4);(1,1,3,3);
(1,2,2,3);(2,2,2,2)。它们的积分别为 5,8,9,12,16。
分拆成 3 个数,可得 5 组数:(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4);(2,2,
4);(2,3,3)。它们的积分别为 6,10,12,16,18。
分拆成