文档介绍：抛物线习题精选精讲(1 )抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法, 可抛物线只有一种: 到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合. 其离心率 e=1 ,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的 1, 既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 【例 1】P 为抛物线 px y2 2?上任一点, F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴( ) .A 位置由 P 确定【解析】如图,抛物线的焦点为, 02 pF ? ?? ?? ?,准线是:2 p l x ??.作 PH⊥l 于H ,交 y 轴于 Q ,那么 PF PH ?, 且2 p QH OF ? ?.作 MN⊥y 轴于 N则 MN 是梯形 PQOF 的中位线, ?? 1 1 1 2 2 2 MN OF PQ PH PF ? ???. 故以 PF 为直径的圆与 y 轴相切,选 B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的.(2 )焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关. 理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的. 【例 2】过抛物线?? 02 2?ppx y?的焦点 F 作直线交抛物线于???? 1 1 2 2 , , , A x y B x y 两点,求证: (1) 1 2 AB x x p ? ??(2)p BF AF 211??【证明】(1 )如图设抛物线的准线为 l ,作 1 AA l ? 1 1 1 1 1 ,2 p A BB l B AA x ? ???于,则 AF , 1 2 2 p BF BB x ? ??. 两式相加即得: 1 2 AB x x p ? ??(2 )当 AB⊥x 轴时,有 AF BF p ? ?, 1 1 2 AF BF p ? ??成立; 当 AB 与x 轴不垂直时,设焦点弦 AB 的方程为: 2 p y k x ? ?? ?? ?? ?. 代入抛物线方程: X YP HM NO (,0)2 pF :2 p lx=- 22 ypx= Q X YF A(x,y) 11 B(x,y) 22 A 1B 1l 2222 p k x px ? ?? ?? ?? ?. 化简得: ???? 2 2 2 2 2 2 0 1 4 p k x p k x k ? ???∵方程( 1 )之二根为 x 1,x 2,∴ 1224 k x x ? ?.?? 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 x x p p p p p AF BF AA BB x x x x x x ? ?? ?????? ?? ?????? 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 22 4 2 4 x x p x x p p p p p p x x p x x ? ? ??? ??? ?? ??. 故不论弦 AB与x 轴是否垂直,恒有 p BF AF 211??成立. (3 )切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关. 理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功. 【例 3 】证明:过抛物线 22 y px ?上一点 M(x 0,y 0 )的切线方程是: y 0 y=p ( x+x 0) 【证明】对方程 22 y px ?两边取导数: 2 2 . p y y p y y ? ?? ???,切线的斜率 0 x xp k y y ??? ?. 由点斜式方程: ???? 2 0 0 0 0 0 01 p y y x x y y px px y y ? ? ????? 2 0 0 2 1 y px ??,代入()即得: y 0 y=p ( x+x 0) (4 )定点与定值——抛物线埋