文档介绍：线性代数辅导 41 矩阵的特征值与矩阵的对角化【基本要求】 1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念,并掌握其求法; 2. 理解相似矩阵的概念及性质,掌握矩阵对角化的充要条件; 3. 理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向量的性质, 会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。【主要内容】<1> 重要公式: 1、i niA?? 1??(n,,,???? 21 是n 阶方阵 A 的特征值) 2、?????? ni i ni iia trA 11?()A( tr 表示 A 的迹) 3、?????0210A)n,,,i( i?? A 可逆 4 、若可逆阵 A 的每行之和为 0?a ,则 a 为矩阵 A 的一个特征值, 1?a 为1?A 的一个特征值,且对应的特征向量为???????????1 1?X 5 、设的特征值为A i?,则不可逆可逆 A kIA kI A kIA kIk k i i????????????0 0?? 6、A 可逆且有 n 个线性无关的特征向量 11????AA,A 有相同的 n 个线性无关的特征向量。 7、)()( );()(~B trA trBrArBA??? 8、设?是n 阶方阵 A 特征值, ?是A 对应于?的特征向量,则有如下表矩阵 A1?A kA mA *A )(Af AP P 1?TA B(A 经过初等换所得) 特征值? 1???k m?? A)(?f??不定特征向量??????? 1?P 不一定是?不定第五章特征值与特征向量 42<2> 可对角化的判断方法: 有n 个线性无关的特征向量; 为实对称矩阵,则 A 一定可以对角化; 有n 个互不相同的特征值,则 A 一定可以对角化; ,,???? 21 是A 的所有不同的特征值,且其相应的重数为 sk,k,k? 21 , 若?? iiknAIR????,s,,,i? 21?,则 A 一定可以对角化<4> A、B 有相同的特征值????? BRAR?<5> 变换关系变换阵性质等价 PAQ=B P、Q 可逆秩不变相似B AP P??1P 可逆秩不变, i?不变, BA?, tr(A) =tr (B) 正交相似 B AC C B AC C T???或 1C 正交同上【典型例题】例1求?????????????100 010 221A 的特征值与特征向量. 解: 特征方程为|λE- A|=100 010 221???????=(λ+1) (λ- 1) 2 =0,∴A 的全部特征值为λ 1=-1,λ 2=λ 3 =1。把?????????????????02 02 02x2 1 3 2 32 i1x x x,XAI得齐次线性方程组: 代入方程组???, 它的一个基础解系?? T001 1?, 是非零常数的全部特征向量为对应于特征值 k,A 1 1k1?????. 同理可得 A 对应于特征值的全部特征向量为 1 32????????).k,k(k TT 不全为零 2121011101k??. 线性代数辅导 43 例2 已知???????????204 060 402A ,求一正交矩阵 P ,使 P -1 AP 成为对角阵. 解?特征方程为|λE- A|=( λ- 6) 2(λ+2) ,?A 的全部特征值为 26 321???????, , 当λ=6 时