文档介绍：?返回主界面第五章第五章矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值线性代数与空间解析几何电子教案网络版说明说明: : 由于由于 PowerPoint PowerPoint 软件版本差异软件版本差异, , 在您在您的电脑上浏览本电子课件可能有些的电脑上浏览本电子课件可能有些内容出现会出现异常内容出现会出现异常. . ————课件作者:王小才课件作者:王小才§ § 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量§ § 相似矩阵相似矩阵§ § 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化第五章第五章矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值§ § 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量一一. . 特征值特征值, , 特征向量的定义和计算特征向量的定义和计算 1. 1. 设A是n阶方阵, ?为数, ?为n维非零非零向量. 若A?= ??, 则称?为A的特征值特征值, 称?为A 的对应于?. 由A?= ??得齐次线性方程组(?I–A)?=?, 它有非零解?系数行列式|?I–A |=0, 这个关于?的一元 n次方程, 称为 A的特征方程特征方程, | ?I–A|称为 A的特征多项式特征多项式. ??第五章第五章矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值§ § 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量例例1 1. . 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解: : ?????????31 13A ),2 )(4(31 13||????????????AI所以所以 A A的特征值为的特征值为?? 1 1 =2, =2, ?? 2 2 =4. =4. ????????0 0 21 21xx xx解之得解之得).R0(1 1 2 1???????????????kkx xA A的对应于的对应于?? 1 1 =2 =2 的特征向量为的特征向量为对于对于?? 1 1 =2, =2, ( (2 2I I––A A) )x x = = ??即即).R0(????????kk k??第五章第五章矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值§ § 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量???????0 0 21 21xx xx解之得解之得).R0(1 1 2 1????????????????kkx xA A的对应于的对应于?? 2 2 =4 =4 的特征向量为的特征向量为对于对于?? 2 2 =4, =4, (4 (4I I––A A) )x x = = ??即即).R0(????????? kk k 例例1 1. . 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解: : ?????????31 13A ),2 )(4(31 13||????????????AI所以所以 A A的特征值为的特征值为?? 1 1 =2, =2, ?? 2 2 =4. =4. ????第五章第五章矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值§ § 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量解解: | : |??I I––A A | = ( | = ( ??–– 2)( 2)( ??––1) 1) 2 2. .所以所以 A A的特征值为的特征值为?? 1 1 =2, =2, ?? 2 2 = = ?? 3 3 = 1. = 1. 对于对于?? 1 1 =2, =2, 求得求得( (2 2I I––A A) )x x = = ??的基础解系的基础解系: : p p 1 1 =(0,0,1) =(0,0,1) T T. . 对应于对应于?? 1 1 =2 =2 的特征向量为的特征向量为 kp kp 1 1 (0 (0??k k??R R ). ). 对于对于?? 2 2= =?? 3 3 =1, =1, 求得求得( (I I––A A) )x x = = ??的基础解系的基础解系: : p p 2 2 =( =(––1, 1, ––2,1) 2,1) T T. . 对应于对应于?? 2 2= =?? 3 3 =1 =1 的特征向量为的特征向量为 kp kp 2 2 (0 (0??k k??R R ). ). 例例2 2. . 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . ???????????201 034 011A????第五章第五章矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值§ § 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量解解: | :