文档介绍：数学建模量纲分析法量纲分析法量纲分析( Dimensional Analysis) 是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法,它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。一、量纲齐次原则长度 l 的量纲记 L =[l]质量 m的量纲记 M =[m]时间 t的量纲记 T =[t] 速度 v 的量纲 [v ]= LT -1 2 21r mmkf?加速度 a的量纲 [a ]= LT -2 力f的量纲 [f ]= LMT -2引力常数 k的量纲 [k]对无量纲量?,[?]=1(= L 0M 0T 0) =[f ][l] 2[m] -2=L 3M -1T -2 量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例:单摆运动)1( 321????glmt? 321][][][][ ???glmt? l mg m 求摆动周期 t的表达式设物理量 t, m, l, g 之间有关系式? 1, ? 2, ? 3为待定系数, ?为无量纲量?????????2/1 2/1 0 3 2 1???g lt??(1) 的量纲表达式 g lt?2?对比 33212???????TLMT ??????????12 0 0 3 32 1????对 x,y,z 的两组测量值 x 1,y 1,z 1和x 2,y 2,z 2, p 1 = f ( x 1,y 1,z 1 ), p 2 = f ( x 2, y 2,z 2 ) 2 12 1p pp p???为什么假设这种形式 321????glmt?设p = f( x,y,z ) ),,( ),,(),,( ),,( 222 111 222 111 cz by ax f cz by ax fzyxf zyxf? x,y,z 的量纲单位缩小 a,b,c 倍????zyxzyxf?),,(p = f( x,y,z )的形式为),,( ),,,( 22221111 cz by ax fp cz by ax fp???? 000201 001010100 4 3 2 1)( )()()(TMLTML TMLTMLTML y y y y??000 2 412 43TMLTML yyy yy???????????????201 001 010 100][ ][ ][ ][TMLg TMLl TMLm TMLt 单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 0),,,(?glmtf ??????????02 0 0 41 2 43yy y yy???glt 12)/(glt?? T Tyyyy y)1,1,0,2( ),,,( 4321???基本解?? 4 321y yyyglmty 1~y 4 为待定常数, ?为无量纲量 0)(??F 设f(q 1, q 2, ?, q m ) = 0 mjXq ni aij ij,,2,1,][ 1?????y s = ( y s1, y s2, …,y sm) T , s = 1,2, …, m-r F(? 1,? 2,…,? m-r ) = 0 与 f (q 1, q 2, ?, q m ) =0 等价, F未定 Pi定理(Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律, X 1,X 2, ?,X n(n?m)是基本量纲, q 1, q 2, ?,q m的量纲可表为,}{ mn ijaA ??量纲矩阵记作 rA? rank 若线性齐次方程组 0? Ay 有 m-r 个基本解,记作??? mj yjs sjq 1?为 m-r 个相互独立的无量纲量, 且则 1 1 3 1 2 1 ( ) 0 0 1 0 0 1 ( ) 2 0 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L A M T g l v s f ??? ???? ????? ???? ??? ???? ???[g ] = LT -2, [l ] = L, [?] = L -3M, [v ] = LT -1,, [s ] = L 2, [f ] = LMT -2 量纲分析示例: 波浪对航船的阻力航船阻力 fmj Xq ni aij ij,,2,1 ,][ 1?????航船速度 v, 船体尺寸 l, 浸没面积 s, 海水密度?, 重力加速度 g。 mn ijaA ??}{m =6, n =3 0),,,,,(?fsvlg?? 0),,,( 21?