文档介绍：1 高中数学笔记-------- ⑵函数 1 基础概念基本性质: 注意: ①函数图像与 x 轴上的垂线至多一个公共点, 但与 y 轴上的垂线的分共点可能没有, 也可任意个; ②函数图像一定是坐标系中的曲线, 但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像 2, 常见函数图像: ○ 1 y=f (x) =x+ ;○ 2。 y=(a,c0 ); ○ 3+ =2 ; + =2 ○ 1○ 2 ○ 3○ 4 ○ 4 指数函数与对数函数的图象与性质注意:①指数函数与对数函数,当 a>1时, 都是其定义域上的单调增函数,当 0<a<1, 都是定义域上的单调减函数; 指数函数的图象都过点(0,1), 对数函数的图象都过点(1,0). 2 ②设函数 2 ( ) log ( ) m f x ax bx c ? ??(a≠ 0), 记24 b ac ???,若 f(x) 的定义域为 R,则 a>0, 且0 ??,若 f(x) 的值域为 R,则 a>0, 且0 ??.. 幂函数: 注意: 幂指数大于 0时, 幂函数在(0,+ ∝) 上单调递增; 幂指数小于 0时, 幂函数在(0,+ ∞) 上单调递减, 所有幂函数的图象都过点(1,1). 3 图形变换: 高中阶段主要学习了种函数:常数函数, n 次函数,幂函数( x a ),指数函数,对数函数,三角函数,分段函数(如含绝对值的函数) ①加减变换: 遵循“左加右减, 上加下减”的原则( 其中上加下减是在 X 一方变换的, 如果也针对 y 则为“下加上减”即 y=f (x )按向量( a,b )平移为 y-b=f ( x-a )。) ②伸缩变换: y=f(x )→ y=f ( ax )即沿 x 轴方向向 y 轴变为原来的。○ 3 绝对值的变换: y=f (x ), y=f (|x| ), y= |f(x)|,|y| =f(x )的相互转换。 4 ,函数的常见性质○ 1若函数 y=f (x)满足 f(a+bx)=f(c-bx), ,则 f( mx )的图像关于 x== 对称○ 2对一函数 y=f ( x),有 y=f ( a+bx )与 y=f ( c-bx )的图像关于 a+bx=c-bx ,即 x=,对称○ 3若 y=f ( x+a )的图像关于 y轴对称,则有 f( x+a ) =f( -x+a ),及 f( x)关于 x=a 对称○ 4函数 f(x)=(a,c0)值域为,图像关于点( , )中心对称。(其实该函数是由反比例函数经过平移或伸缩变换而得,而反比例函数就刚好关于原点中心对称。) ○ 5若f(x)=(a,c0)则 f -1(x) ==,( a,d对调) ○ 6周期函数不一定有最小正周期。如狄利克雷函数 D(X)= 这是一个周期函数,任何正有理数都是它的周期,但是它不存在最小正周期。○ 7原函数与反函数的奇函数性和单调性相同,原函数与导函数的奇偶性相反。 3 ○ 8设 a为非 0常数,若 f( x) 在定义域内恒有下列条件之一: I, f( x+a ) =--f(x) , II, f( x+a ) f(x)=1, III,f( x+a )= IV,f( x+a ) =f(x—a)。则 f(x)为周期函数, 2a为其周期。○ 9若 f( x)同时关于 x=a 和 x=b 对称,则 2b-2a 为一周期若f(x)关于 x=a 对称,且关于点( b,0)对称( a与b不相等)则 4b-4a 为其一周期若f(x)同时关于点( a,0)和点( b,0)对称,则 2b-2a 为其一周期。 5. 抽象函数问题抽象函数性质特殊函数模型 f( x 1 +x 2) =f( x 1) +f( x 2) f( x) =kx f( x 1 +x 2) =f( x 1) .f( x 2) 或f(x 1 -x 2) =f(x 1)f(x 2) f( x) =a x f(x 1x 2) =f(x 1) +f(x 2) 或f(x 1x 2) =f(x 1) -f(x 2) f(x) =log a x f( x 1) +f( x 2) =2f f f(x) =cosx 抽象函数问题的”原型”解法例析例1, 设函数( ) f x 满足( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 x y x y f x f y f f ? ?? ?,且f (2 ?)=0 ,x 、y ∈R; 求证: ( ) f x 为周期函数,并指出它的一个周期。分析与简证:由( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 x y x y f x f y f f ? ?? ?想: 1 2 cos cos x x ?=2cos 2