文档介绍：2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，均为非选择题 ( 第 1 题 ~第 20 题，共 20 题 ) 。本
x
2
，其中 k>0. 若在区间 (0 ，9] 上，关
2
于 x 的方程 f (x)
g( x) 有 8 个不同的实数根，则
k 的取值范围是
▲ .
二、解答题：本大题共
6小题，共计 90分．请在答题卡指定区域
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
．．．．．．．
或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c．
（ 1）若 a=3c，b=
2 ， cos B=
2 ，求 c 的值；
3
（ 2）若 sin A
cosB ，求 sin( B
) 的值．
a
2b
2
16．（本小题满分
14 分）
如图，在直三棱柱
－111中，，
分别为
，
的中点，
= ．
ABC A BC
D E
BC AC
AB BC
求证：（ 1） A1B1∥平面 DEC1；
2） BE⊥ C1E．
17．（本小题满分
14 分）
如图，在平面直角坐标系
xOy中，椭圆 C:
x2
y2
1(a b 0)
1
a2
b2
的焦点为 F （– 1、 0），
F2（ 1， 0）．过 F2
作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方， l 与圆 F2: (x
1)2
y2
4a2 交于点 A，与椭圆 C 交于
点 D. 连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C于点 E，连结 DF1．
已知 DF1=
5 ．
2
1）求椭圆 C的标准方程；
2）求点 E 的坐标．
18．（本小题满分
16 分）
如图， 一个湖的边界是圆心为
O的圆， 湖的一侧有一条直线型公路
l ，湖上有桥 AB（ AB是圆 O的直径） ．规
划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路
PB、QA．规划要求：线段
PB、 QA上的所有点到点 O
的距离均不小于圆
的半径．已知点
、
到直线
l
的距离分别为
和
（ 、
D
为垂足），测得
=10，
．．． ．O
A B
AC
BD C
AB
AC=6，BD=12（单位：百米）．
1）若道路 PB与桥 AB垂直，求道路 PB的长；
2）在规划要求下， P 和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；
3）在规划要求下，若道路 PB和 QA的长度均为 d（单位：百米） . 求当 d 最小时， P、 Q两点间的距离．
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．（本小题满分
16 分）
设函数 f (x) (x
a)( x
b)( x c), a,b, c R 、 f
' ( x) 为 f （x）的导函数．
（
1）若 a=b=c，f （ 4） =8，求 a 的值；
（
2）若 a≠ b，b=c，且 f （ x）和 f ' ( x) 的零点均在集合 { 3,1,3} 中，求 f （ x）的极小值；
（
3）若 a 0,0
b, 1,c
1 ，且 f （ x）的极大值为
M，求证 :M≤ 4 ．
27
20．（本小满分 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“ M－数列” .
（ 1）已知等比数列 { an}
*
)
满足：
a2 a4
a5 , a3
4a2
4a4
0
，求证：