文档介绍：知识点整理
（一）平行与垂直的判断
（1） 平行：设a,a的法向量分别为％5,则直线的方向向量分别为繇,平面
线线平行/ 〃秫=a 〃片=a = &片；线面平行/〃 au>a_L"=a・" = O；
面面平行 a ///3<^u//° ,
设 EF=x,易得 AH=HC=1,则 CF=x, FD= Jl + 子.
tan ZEDF = = / 丁 =——,解得尤=——,则 CE — V2x = 1,
FD 序F 3 2
故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角.
解法二：
(1)作AH±面BCD于连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形，且AH=1,
以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，
则 B (1, 0, 0), C (0, 1, 0), A (1, 1, 1). 就=(-1,1,0),瓦= (1,1,1),
:.BC DA = Q,贝AD
(2)设平面ABC的法向量为房= (x,y,z)，
则由％ ± 3C知：％ • BC = -x + y = 0;
同理由％ ± CA知％ ± CA = x + z = 0.
可取％ =
同理，可求得平面4CD的一个法向量为％ =(1,。,-1).
由图可以看出，二面角B一AC一D的大小应等于 < 〃],凡2 >
贝Ijcos <nvn2〉= 史笑 =1二0,=匝,即所求二面角的大小是arccos — I II n2 I V3-V2 3 3
(3)设E (x, y, z)是线段AC上一点，则工=z〉0, y = 1,
平面 BCD 的一个法向量为 n = (0,0,1),OE = (x,l,x),
要使ED与面BCD成30°角，由图可知DE与fl的夹角为60° ,
DE - n
所 以 cos < DE, n >= [ a = cos 60° =—.
I DE II n I Vl + 2x2 2
g
则2x = Jl + 2x2，解得,x = ，则CE = V2x = 1.
2
故线段AC上存在打点，且CE = 1时,时与面3C。成30°角.
题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题
TT
例 3、如题(18)图，在五面体 ABCDEF 中，AB // DC , ABAD = - , CD = AD = 2,
2
四边形ABFE为平行四边形，ABCD, FC = 3, ED 2 .求:
(I )直线到平面EFCD的距离；
(II)二面角F-AD-E的平面角的正切值.
解法一：
(I ) AB DC, DC u 平面 EFCD, :. AB 到面
EFCD的距离等于点A到面EFCQ的距离，过点A作
7T
AG1FD 于 G ,因 ZBAD = - AB // DC ,故 2
CD LAD -,又•: ,由三垂线定理可
知，CD LFD,故 CD ,知 CD 1 AG ,所
题(18)图
以AG为所求直线AB到面EFCD的距离
在RtAABC 中，FD = VFC2-CD2 = V9-4 = ^5
由 FA ± 平面 ABCD ,得 FA! AD ,
从而在7?rAFAD中，
FA = ^FD2-AD2 = a/5^4 = 1
AG = FA AD =2_ = 丞。即直线AB到平面EFCD的距离为 —
FD 际 5 5
JT
(II)由己知，平面 ABCD,得 FA1AD,又由 ZBAD = -,知 AD1AB ,
2
故AD1平面ABFE
DA1AE,所以，ZFAE为二面角F-AD-E的平面角，记为0.
在 RtAAED 中，AE = Jed' -AD' = .7-4=0，由 ABCD 得，FE B4,从而
71
ZAFE = -
2
在 RtAAEF FE = ^AE2-AF2 = ^3^1 = 41 ，故 tan9 = — = 41
FA
所以二面角F -AD-E的平面角的正切值为J3.
f A-
解法二： '.,/'
__ __ __ 『，:
(I )如图以A点为坐标原点，届，反5,存的方向为 /'
羔 A . /
x,y,z的正方向建立空间直角坐标系数，则
C、 D
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)设 F(O,O,Zo) (zo > 0)可得 FC = (2,2,-<0),由"
I 而 1= Ji2 + 22 + zj = 3,解得 F (0,0,1) •••