文档介绍：1: 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手法则,函数 P(x,y,z) ,Q( xY ,z),R(x,y,z) 在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有: ( ) ( ) ( ) R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ?? ? ????? ????? ? ?????? Pdz Qdy Rdz ?? ???高等数学电子案武汉科技学院数理系注意:斯托克斯公式是格林公式的推广;斯托克斯公式把曲面Σ上的曲面积分与沿着Σ的边界曲线的曲线积分联系起来. 证明:把斯托克斯公式分成三式??????????? dxzyxp dxdy y P dzdx z P),,()1(???????????dyzyxQ dydz z Q dxdy x Q),,()2(???????????dzzyxR dzdx x R dydz y R),,()3( 高等数学电子案武汉科技学院数理系现在证明(1) 式:???????????dxzyxp dxdy y P dzdx z P),,()1(x y zΣ:z=f(x,y) Γ n ?0C D xy 条件:假定Σ与平行于 z轴的直线相交不多于一点,并设Σ为曲面 z=f(x,y) 的上侧,Σ的正向边界曲线Γ在xoy 面上的投影为平面有向曲线 C,C 所围成的闭区域为 D :先把(1) 式左边化为闭区域 D xy上的二重积分,再通过格林公式与曲线积分联系. (1) 式左边: 高等数学电子案武汉科技学院数理系( cos cos ) P P P P dzdx dxdy ds z y z y ? ?? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ??因为Σ的法向量的方向余弦为: 2 2 2 2 2 2 1 cos , cos cos 1 1 1 y x x y x y x y ff f f f f f f ? ????? ??? ? ???? cos , cos dzdx ds dxdy ds ? ?? ?? cos cos yf ? ?? ??代入上式可得到高等数学电子案武汉科技学院数理系( cos cos ) P P P P dzdx dxdy ds z y z y ? ?? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ??( cos γds=dxdy )上式右端曲面积分化二重积分时,z用 f(x,y) 代替, 由复合函数微分法,有 yfz Py PyxfyxPy ?????????)],(,,[代入上式右端,得到 dxdy yxfyxPy dxdy y P dzdx z P xyD )],(,,[ ??????????????( ) cos ( ) y y P P P P f ds f dxdy y z y z ?? ?? ? ???? ? ???? ? ???? ??高等数学电子案武汉科技学院数理系由格林公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域 D xy的边界C的曲线积分,即[ , , ( , )] [ , , ( , )] xy D C P x y f x y d xd y p x y f x y d x y ?? ???? ?成立 dxdy y Px Q Qdy pdx LD)(??????????[ , , ( , )] C P P d z d x d xd y p x y f x