文档介绍：高中数学导数及其应用知识点
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导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
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例：函数已知时取得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。
求最值步骤：
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，
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有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .
●经典例题选讲
例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )
，试确定a的取值范围，并求其单调区间。
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例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
例4. 设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。
例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。
（1）求a、b的值。
（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。
例6. 已知是函数的一个极值点，其中，
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（I）求与的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
例7：（2009天津理20）已知函数其中
当时，求曲线处的切线的斜率；
当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
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参考答案：
例1 [解析]：由函数的图象可知：
当时， <0，>0，此时增
当时，>0，<0，此时减
当时，<0，<0，此时减
当时，>0，>0，此时增，故选C
例2.
解：
若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾
若， ∴ ，也只有一个单调区间，矛盾
若 ∵ ，此时恰有三个单调区间
∴ 且单调减区间为和，单调增区间为
例3 .
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
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所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.
例4.
解：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是
一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，
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在时，取得极小值，极小值为。
例5.
解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和
由韦达定理，得：1=，
则，
（2）由（1），有f（x）=，f/（x）=
当时，，当时，，当时，，
当时，有极大值，，
∴ 当，的最大值为
对，都有恒成立，∴，
解得或
例6.
解：(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
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（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值