文档介绍：电磁场与电磁波经典课件
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第一章矢量分析
矢量分析基础
一、矢量与矢量场
1、标量：
2、矢量:
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
特点：方向导数既与点M0有关，也与
方向有关。
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3. 标量场的梯度（或）
概念：标量场u在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作gradu，
其中取得最大值的方向
梯度的计算式：
引入哈密顿算子，
即可缩写为
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梯度的表达式：
圆柱坐标系
球坐标系
直角坐标系
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梯度与方向导数的关系
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
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矢量场的通量散度
一、矢量线（力线）
矢量场的通量
二、矢量场的通量
矢量线的疏密表征矢量场的大小；
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
若S 为闭合曲面
若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：
为矢量沿有向曲面S 的通量。
3）物理含义：以流速场为例
讨论：1）面元矢量定义；
2）
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三、矢量场的散度
1、散度的定义
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度是一个标量；
通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若，闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若，闭合面内有吸收矢量线的负源；
c) 若，闭合面内无源。
在场空间中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M 点处的散度为：
2)
矢量场的散度是空间坐标的函数；
通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。
散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。
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3、散度的计算
1) 在直角坐标系下：
( 无源）
( 正源)
负源)
3) 表征该点单位体积内源的强度。
讨论：在矢量场中，
1）若，则该矢量场称为有源场，为源密度；
2）若处处成立，则该矢量场称为无源场。
哈密顿算符
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2) 在圆柱坐标系下：
3) 在球面坐标系下：
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
该公式表明了区域V 中场与边界S上的场之间的关系。
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矢量场的环流旋度
一、矢量的环流
环流的计算
环流的定义：
设有矢量场，沿场中任一闭合的有向路径l的积分，叫作沿曲线l的环流。即：
讨论：1）线元矢量的定义；
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。
2)
反映矢量场漩涡源分布情况。
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二、矢量的旋度
1. 环流面密度
在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处的环量面密度
M
环流面密度的计算公式：
其中为点M处的方向余弦
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2. 矢量场的旋度
在直角坐标中，若定义F为：
式中：表示面元单位法线方向；
则称：矢量F为矢量A的旋度，记作：
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示
物理意义：旋涡源密度矢量。
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3. 旋度的物理意义
4. 旋度的计算
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
1) 在直角坐标系下：
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