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复变函数复****资料

复变函数期末复****br/>一学问点
1第一章主要驾驭复数的四那么运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 其次章主要驾驭函数的解析性，会判定函数是否是解析?y2
解：u(x,y)?cosxcoshy,v(x,y)??sinxsinhy，
?v?y?u?x??sinxcoshy，
?u?y?cosxsinhy
?v?x?u?x???cosxsinhy，
??sinxcoshy，以上四个偏导数在复平面上连续，且满意柯西—黎曼条件

?v?u?v，f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy在z平面上解析，其导数为 ,???y?y?x?u?x?i?v?y??sinxcoshy?icosxsinhy)。
f?(z)?8验证u(x,y)?x3?3xy2是z平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使得f(0)?i。学问点：
调和函数的定义，调和函数和解析函数的关系。解由u(x,y)?x?3xy得
32?u?x?3x?3y22，
?u?y??6xy，
?2u?x2?6x，
?2u?y2??6x
所以
?2u?x2??2u?y232?0，所以u(x,y)?x?—黎曼条件
?u?x??v?u?v得,???y?y?xv(x,y)???x?vdx????u?ydx=
2?6xydx?3xy??(y)，
?v?y?3x2???(y)所以??(y)??3y2，
?(y)??y3?C，从而
f(z)?x3?3xy2?i(3x2y?y3?C)，由f(0)?i得C?1，所以
f(z)?x3?3xy2?i(3x2y?y3?1)。

9 设函数
f(z)在区域D内解析，试证：(?2?x2??2?y2)|f(z)|2?4|f?(z)|2
学问点：解析函数的导数的计算。解：设函数
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，那么
|f(z)|2?u2(x,y)?v2(x,y)，
??x|f(z)|2?2u(x,y)?v?y，
?u?x?2v(x,y)?v?x，
??y?2|f(z)|2?2u(x,y)?2u?x2?u?y?2v(x,y)?u?x?x2|f(z)|?2u2?2()?2v2?2v?x2?2(?v?x)2??y2|f(z)|?2u?2u?x2?2u?y22?2u?y2?2(?u?y)?2v?2v?y22?2v?y2?2(?v?y)2
而解析函数的实部与虚部是调和函数，
??0，
?2v?x2??0所以有
(?2?x2??2?y22?)|f(z)|?4|f(z)|。 211试证
f(z)?ex(cosy?isiny)在复平面上解析，并求其导数。
学问点：利用柯西—黎曼条件判定函数的可导性与解析性。证明：
u(x,y)?excoys,v(x,y)?exsiny，
?u?x?excosy，
?u?y??exsiny，
?u?x?v?x?exsiny，
?v?y?excosy，以上四个偏导数在复平面上连续，且满意柯西—黎曼条件

?u?x?v?y??v?u?v，所以,???y?y?xf(z)?ex(cosy?isiny)在复平面上解析，其导数为f?(z)??i?ex(cosy?isiny)。
12验证v(x,y)?arctanyx在右半平面内是调和函数，其中x?0。
学问点：调和函数的定义，解析函数和调和函数的关系。
解：
?v?x??1??2v?y2yx2??yy2x2?y2x2，
1?v?y?1?xx?y2x2?