文档介绍：第1页〔共31页〕
高中数学线性规划问题
一．选择题〔共28小题〕
1．〔2015•马鞍山一模〕设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值〔 〕
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
2．〔201z=2x+y的最小值为〔 〕
第5页〔共31页〕
A．﹣2 B．3 C．7 D．12
二．填空题〔共2小题〕
29．〔2016•郴州二模〕记不等式组所表示的平面区域为D．假设直线y=a〔x+1〕与D有公共点，则a的取值范围是 ．
30．〔2015•河北〕假设x，y满足约束条件．则的最大值为 ．
第6页〔共31页〕
高中数学线性规划问题
参考答案与试题解析
一．选择题〔共28小题〕
1．〔2015•马鞍山一模〕设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值〔 〕
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图，
由图可知目标函数在点〔﹣2，2〕取最小值﹣8
故选D．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
2．〔2015•山东〕已知x，y满足约束条件，假设z=ax+y的最大值为4，则a=〔 〕
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影部分〕．
则A〔2，0〕，B〔1，1〕，
假设z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
第7页〔共31页〕
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A〔2，0〕时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
假设z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A〔2，0〕时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B
【点评】此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决此题的关键．
3．〔2015•重庆〕假设不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为〔 〕
A．﹣3 B．1 C． D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
假设表示的平面区域为三角形，
由，得，即A〔2，0〕，
则A〔2，0〕在直线x﹣y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A〔2，0〕，D〔﹣2m，0〕，
由，解得，即B〔1﹣m，1+m〕，
第8页〔共31页〕
由，解得，即C〔，〕．
则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC
=|AD||yB﹣yC|
=〔2+2m〕〔1+m﹣〕
=〔1+m〕〔1+m﹣〕=，
即〔1+m〕×=，
即〔1+m〕2=4
解得m=1或m=﹣3〔舍〕，
故选：B
【点评】此题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决此题的关键．
4．〔2015•福建〕变量x，y满足约束条件，假设z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于〔 〕
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
第9页〔共31页〕
联立，解得A〔〕，
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，
解得：m=1．
故选：C．
【点评】此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．〔2015•安徽〕已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是〔 〕