文档介绍：概率论第四节矩、协方差矩阵原点矩中心矩协方差矩阵 n 元正态分布的概率密度小结布置作业概率论一、原点矩中心矩定义设X和Y是随机变量,若?,2,1 ),(?kXE k存在,称它为 X的k阶原点矩,简称 k阶矩?,3,2 }, )]( {[??kXEXE k若存在,称它为 X的k阶中心矩可见,均值 E(X) 是X一阶原点矩,方差 D(X) 是X的二阶中心矩。概率论协方差 Cov (X,Y) 是X 和Y的二阶混合中心矩. 称它为 X 和 Y 的k+L 阶混合(原点)} )]([ )]( {[ L kYEYXEXE??存在, 称它为 X 和 Y 的k+L 阶混合中心矩. )( LkYXE设 X 和 Y 是随机变量,若 k,L =1,2, …存在, 可见, 概率论二、协方差矩阵将二维随机变量( X 1,X 2)的四个二阶中心矩} )]( {[ 211 11XEXEc??)]} ( )][ ( {[ 2211 12XEXXEXEc???排成矩阵的形式: )]} ( )][ ( {[ 1122 21XEXXEXEc???} )]( {[ 222 22XEXEc??称此矩阵为(X 1,X 2)的协方差矩阵. ???????? 22 21 12 这是一个对称矩阵概率论类似定义 n 维随机变量(X 1,X 2, …,X n ) 的协方差矩阵. 为(X 1,X 2, …,X n ) 的协方差矩阵都存在, ( i, j =1,2, …, n ) ),( jijiXX Cov c?若)]} ( )][ ( {[ jjiiXEXXEXE?????????????????? nn nn n cC??????? 21 222 21 112 11矩阵称概率论三、 n 元正态分布的概率密度)} ()(2 1 exp{ ||)2( 1 1 212?????????XCX C nf (x 1,x 2, …,x n)则称 X 服从 n C是(X 1,X 2, …,X n ) 的协方差矩阵. |C|是它的行列式, 表示 C的逆矩阵, 1?C X 和是 n 维列向量, 表示 X 的转置. ? X ?设=(X 1,X 2, …,X n)是一个 n维随机向量, 若它的概率密度为 X ?概率论 n元正态分布的几条重要性质 1. X =(X 1,X 2, …,X n)服从 n元正态分布 a 1X 1 + a 2X 2 + …+ a nX n均服从正态分布. 对一切不全为 0的实数 a 1,a 2,…,a n, 概率论若X =(X 1, X 2 , …, X n ) 服从 n 元正态分布, Y 1,Y 2, …,Y k是X j(j =1,2, …,n) 的线性函数, 则(Y 1,Y 2, …,Y k ) 也服从多元正态分布. 2. 正态变量的线性变换不变性. (X 1,X 2, …,X n) 服从 n 元正态分布, 则“X 1,X 2, …,X n相互独立”等价于“X 1,X 2, …,X n两两不相关”概率论例设随机变量 X和Y相互独立且 X~N (1,2), Y~N (0,1). 试求 Z =2 X-Y +3 的概率密度. 故 X 和 Y 的联合分布为正态分布, X 和 Y 的任意线性组合是正态分布. 解:X~N (1,2), Y~N (0,1) , 且 X 与 Y 独立,D(Z )=4 D(X )+D(Y )=8+1=9 E(Z )=2 E(X )-E(Y )+3=2+3=5 即Z~N(E(Z ), D(Z )) 概率论故Z 的概率密度是,23 1)( 18 )5( 2??? z Zezf??????zZ~N (5, 3 2)