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期末试卷09-10参考答案
〔 2022 ～ 2022 第 一 学 期 〕
一、填空题〔每空3分，共30分〕 1.
18(A?E)； 2. 2n?1； ?x(n?1))
x???x???ax?xax?10?0??a?x?(a?x(n?1))0??a?x0??(?1)n(n?1)211 ?1[a?x(n?1)](a?x)n?1.
T3. 设3维列向量?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，??(0,3,?)，问?取何值时，
〔1〕?可由?1,?2,?3线性表示且表达式唯一 〔2〕?可由?1,?2,?3线性表示且表达式不唯一 〔3〕?不能由?1,?2,?3线性表示.
?(1??)x1?x2?x3?0?答：??x1?1?x2?2?x3?3 即?x1?(1??)x2?x3?3, 对增广矩阵B?(A,b)施行初等
?x?x?(1??)x??3?12行变换变为行阶梯形矩阵，有
11?1???1??1 B??1?111???0??11?r?3???0??????00????3??? ??(3??)(1??)(3??)??1???〔1〕当??0且???3时，R(A)?R(B)?3，方程组有唯一解，即?可由?1,?2,?3线性表示且表达式唯一
〔2〕当???3时，R(A)?R(B)?2，方程组有无限多个解，即?可由?1,?2,?3线性表示且表达式不唯一
〔3〕当??0时,R(A)?1,R(B)?2,方程组无解,即?不能由?1,?2,?3线性表示 4. 求以下向量组的秩和一个极大无关组，其中，
?1??1,?1,2,4?,?2??0,3,1,2?,?3??3,0,7,14?,?4??1,?1,2,0?,?5??2,1,5,6?
TTTTT 2
?1 0 3 1 2???0 1 1 0 3?......, 解：(?1 ?2 ?3 ?4 ?5)???0 0 0 1 1???0 0 0 0 0??极大线性无关组为?1,?2,?4, … 向量组的秩为3. …
?2?20????15. 设矩阵A???21?2?，求正交变换T，使TAT为对角阵.
?0?20?????2解：?E?A?2022??12?(??4)(??1)(??2)?0, 2? 对?1?4，由?4E?A?x?0，得
?2x1?2x2?0?2???? ?2x1?3x2?2x3?0，解之得根底解系?1???2?
?2x?4x?0?1?23??? …………
对?2?1，由?E?A?x?0，得