文档介绍：第三章 张量代数
在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射
m阶张量空间
定义了
。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐
标系。则的基底为
张量都可以表示为：
。Pm中的任意
在后文的书写中，矢量空间的张量积符号
r 点处的应力状态。
解：
在物体 r 点处
用三个与
坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2 (
b)所示。取出的四
面体与物体中剩余部分的作用通过四个
面上的作用力联系。设obc , oac , oab , abc面上的作用力的
平均分布集度为t1, t2, t3。四面体内每单位体积上受有f = fi
ii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量； abc的面积为
ΔA。则三角形 obc , oac , oab的面积分别为：
按§（g）式面积矢量记法有：
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在坐标系{o ; i1 , i2 , i3 }中 t1, t2, t3可表示为：
由牛顿第二定律（本例中就是平衡方程）得：
式中ΔV是四面体的体积； ρ (r)是密度； a是加速度。当h
→0时： ΔV →0 ; ρ (r) ΔV →0。同时 t1, t2, t3 分别为过r点
的四个面上的内力分布集度（不在是ΔA , ΔA1 , ΔA2 , ΔA3
面上的平均内力分布集度 ）。并称 t , t1, t2, t3 是过 r 点的应
力矢量。且：
∴
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σ = σ (r) 称为 r 点的应力张量。
对 i ; j 的确定值，表示点 r 外法线方向为 ii 的面上沿 ij
方向的应矢量的大小为 σij 。同时：
还表明 ：确定点 r 的三个坐标面上的各坐标方向的应力矢
量一旦给定（
给定），则过 r 点以单位矢量 n 为外法
线的斜截面上应力矢量被唯一确定。或者说应力张量 σ 完
全描述了一点应力状态。
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仿射量（二阶张量）
的平衡讨论，给出了转动惯量二阶张量J和应力二阶张量σ
；在许多数学和物理问题的描述中，二阶张量被广泛的引
入（如几何学中的度量二阶张量、连续介质学中的变形梯
度二阶张量等）。因此二阶张量的分析具有重要的实际意
义。本节及后文的章节中将重点分析二阶张量。
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二阶张量按张量积的运算，可以看作是两个矢量 u ∈ V ,
v ∈ V通过张量积的运算确定。即：
若{o;i1,i2,i3}是V的坐标系。则：
每一组Aij （九个实数）确定唯一的二阶张量。所有二阶张
量按张量的加法和数乘运算构成矢量（广义矢量）空间 P2
。另一方面，对任意 A ∈ P2 , u ∈ V 有：
显然二阶张量 A 对任意矢量 u ∈ V 。其左点乘 ·（）和右
点乘（） · 分别实现一阶矢量空间 V 到一阶矢量空间 V 的
映射：
（-1）
一般 A 的左、右点乘是不同的映射。即：
并且由（-8）式可知：
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这表明 A 的左、右点乘是线性映射。若定义：
（-2）
则满足（-2）的所有一阶矢量空间到一阶矢量空间线性
映射（左点乘或右点乘）的（-3）式中A 的集合构成矢
量（广义矢量）空间P2。
按张量积定义的二阶张量uv和按线性映射定义的二阶张量
A，若按点乘运算都实现将a ∈ V对应到b ∈ V 。则uv和A
是同一个二阶张量的二种不同形式的表示。因为：
∵
∴
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30 o
a
i 2
x 2
x 1
i 1
i 1
i 2
x 2
x 1
图3－3
对任意给定大小和方向的矢量a 。在
不同的基底上， a的坐标表示是不同
的。如图3－3所示。 A 在二维基底{
o; i1,i2}中表示为：
若
是另一组基底。且
在{o; i1,i2}中可表示为：
则a在
中的表示为：
显然在两组基底上 a 的坐标分别为（2，2）和
。也就是说矢量在不同基底上的线性表示是不同的。因此
对按张量积定义的二阶张量 A= u v 在不同的基底 ii ij (i,j =
1,2,3 )上的线性表示也是不同的。设V有二组标准正交基底
{o; i1,i2,i3}和
。且：
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（a）
二阶张量A在
形成的基底
(i,j = 1,2,3 )
上的
表示为：
将基底变换（a）式代入得：
（-3）
该式是二阶张量 A 在{o; i1,i2,i3}和
构成的基底上
性表示坐标（九维）的变换关系。（-3）式也常被用来
定义二阶张量。即用两个指标的九个数Aij 表示的量，当坐