文档介绍：第五讲第五讲高阶微分方程( 高阶微分方程( 1 1) ) 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社宁波大学陶祥兴等编本节内容提要本节内容提要一、引言一、引言二、齐线性方程的解的性质与结构二、齐线性方程的解的性质与结构三、非齐线性方程与常数变易法三、非齐线性方程与常数变易法在前面已经讨论过一阶微分方程,这一讲在前面已经讨论过一阶微分方程,这一讲里我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,即高里我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,即高阶微分方程阶微分方程。。 1 1 1 1 ( ) ... ( ) ( ) ( ) (1) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ???? ????我们讨论如下的我们讨论如下的阶线性微分方程阶线性微分方程 n其中其中及及都是区间都是区间上的连续函数。上的连续函数。( )( 1, 2, ..., ) i a t i n ?( ) f t a t b ??一、引言一、引言如果如果,则方程( ,则方程( 1 1)变为)变为( ) 0 f t ? 1 1 1 1 ( ) ... ( ) ( ) 0 (2) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ???? ????我们称它为我们称它为阶齐线性微分方程,简称阶齐线性微分方程,简称齐齐线性方程线性方程,而称一般的方程,而称一般的方程(1) (1) 为为阶非齐线性阶非齐线性微分方程,简称微分方程,简称非齐线性方程非齐线性方程,并且通常把方程,并且通常把方程(2) (2) 叫做对应于方程叫做对应于方程(1) (1) 的齐线性方程。的齐线性方程。 nn同一阶方程一样,高阶方程也存在着是否有同一阶方程一样,高阶方程也存在着是否有解和解是否唯一的问题。解和解是否唯一的问题。因此,作为讨论的基础, 因此,作为讨论的基础, 我们首先给出方程我们首先给出方程(1) (1) 的解的存在唯一性定理。的解的存在唯一性定理。 1 (1) ( 1) 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) , ,..., (3) nnn d t d t t x x x dt dt ? ?????? ? ?我们将在下一章讲述线性方程组的有关定理我们将在下一章讲述线性方程组的有关定理时顺便给出这一定理的证明。从这个定理可以看时顺便给出这一定理的证明。从这个定理可以看出,初始条件唯一地确定了方程出,初始条件唯一地确定了方程(1) (1) 的解,而且的解,而且这个解在所有这个解在所有及及连续的整连续的整个区间个区间上有定义。上有定义。( )( 1, 2, ..., ) i a t i n ?( ) f t a t b ??定理定理 1 1: :如果如果( )( 1, 2, ..., ) i a t i n ?( ) f t a t b ?? 0 [ , ] t a b ?(1) ( 1) 0 0 ,..., n x x ?( ) x t ?? a t b ??及及是区间是区间上的连续函数上的连续函数, ,则对于任一则对于任一及任意的及任意的方程方程(1) (1) 存在唯一解存在唯一解定义于区定义于区上,且满足初始条件: 上,且满足初始条件: 0,x 间间首先讨论齐线性方程首先讨论齐线性方程 1 1 1 1 ( ) ... ( ) ( ) 0 (2) n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ???? ????根据根据““常数可以从微分号下提出来常数可以从微分号下提出来””以及以及““和的导数等于导数之和和的导数等于导数之和””的法则,容易得到的法则,容易得到齐线性方程的解的叠加原理。齐线性方程的解的叠加原理。二、齐线性方程的解的性质与结构二、齐线性方程的解的性质与结构 1 1 2 2 ( ) (