文档介绍：
高一数学专题讲座抽象函数
抽象函数专题讲座
郑严
抽象函数是指没有明确给出详细的函数表达式，只是给出一些特别条件的函数。
1．确定f(x)的定义域，求f g(x) 的定f〔y〕；f〔x－y〕＝
x
f(x)
f(y)
例7．定义在R上的函数f(x)满意：对随意实数m,n，总有f(m n) f(m) f(n)，且当x 0时，0 f(x) 1．
〔1〕试求f(0)的值；
〔2〕判定f(x)的单调性并证明你的结论； 〔3〕试举出一个满意条件的函数f(x)． 解：〔1〕在f(m n) f(m) f(n)中， 令m 1,n 0．得：f(1) f(1) f(0)． 因为f(1) 0，所以，f(0) 1．
〔2〕要判定f(x)的单调性，可任取x1,x2 R，且设x1 x2．
在确定条件f(m n) f(m) f(n)中，假设取m n x2,m x1，那么确定条件可化为：
f(x2) f(x1) f(x2 x1)
．
由于x2 x1 0，所以1 f(x2 x1) 0．
为比拟f(x2),f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．
在f(m n) f(m) f(n)中，令m x，n x，那么得f(x) f( x) 1． ∵ x 0时，0 f(x) 1，
∴ 当x 0时，f(x)
1
1 0.．
f( x)
又f(0) 1，所以，综上，可知，对于随意x1 R，均有f(x1) 0． ∴f(x2) f(x1) f(x1)[f(x2 x1) 1] 0． ∴ 函数f(x)在R上单调递减．
1
〔3〕如f(x) ．
2
3、对数函数型的抽象函数
x
f〔x〕＝logax〔a>0且a≠1〕-----f〔x·y〕＝f〔x〕＋f〔y〕；f〔
x
〕＝ f〔x〕－f〔y〕 y
例8、确定函数f(x)满意定义域在(0, )上的函数，对于随意的x,y (0, )，都有
f(xy) f(x) f(y)，当且仅当x 1时，f(x) 0成立，
y
〔1〕设x,y (0, )，求证f() f(y) f(x)；
x
〔2〕设x1,x2 (0, )，假设f(x1) f(x2)，试比拟x1与x2的大小；
〔3〕解关于x的不等式fx (a 1)x a 1 0
证明：〔1〕∵f(xy) f(x) f(y)，∴f() f(x) f(y)， ∴f() f(y) f(x)
〔2〕∵f(x1) f(x2)，∴f(x1) f(x2) 0， 即f(
2
y
x
yx
x1x
) f(x1) f(x2) f(1) 0 x2x2
x1
1，x1 x2 x2
〔3〕令x y 1代入f(xy) f(x) f(y)得f(1) f(1) f(1)，f(1) 0，
∵当且仅当x 1时，f(x) 0成立，∴当f(x) 0时，x 1，∴
∴关于x的不等式fx2 (a 1)x a 1 0为fx2 (a 1)x a 1 f(1)，由〔2〕可知函数f(x)在定义域(0, )上是减函数，∴0 x2 (a 1)x a 1 1，由
1 x a，当a 1时，此时x2 (a 1)x a 1 0成立；当a 1x2 (a 1)x a 1 1得，
时，a x 1，此时x2 (a 1)x a 1 0成立；当a 1，x 1，此时
x2 (a 1)x a 1 0成立。 4、幂函数型的抽象函数
xf(x)
； f(x) x2 --------------f(xy) f(x)