文档介绍：1方向导数概念与计算公式梯度概念与计算小结思考题作业 directional derivative and gradient 第七节方向导数与梯度数量场与向量场的概念第八章多元函数微分法及其应用 2? x? y?? 1. 方向导数的定义设有二元函数),,(yxfz? l?P ?沿任何方向的变化率. 考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,,lP 发出的一条射线由点方向上取附近于在点 lyxP),( ),,(yyxxP?????一点.||???PP记即,)()( 22yx??????一、方向导数概念与计算公式方向导数与梯度? x yOP 3 定义如果极限?)()( lim PfPf PP??????),(),( lim 0yxfyyxxf???????存在,则将这个极限值称为函数在点, 的方向导数沿方向 lP 记为,l f??即??),(),( lim 0yxfyyxxfl f?????????注方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 方向导数与梯度? y? l???P ?x?? x yOP 4x y zO 2. 方向导数的几何意义),(yxfz?设的几何意义为曲面,当限制自变量沿方向 l 变化时, 对应的空间点),,(zyx 形成过 l 的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点 M有一条记此半切线与方向 l 的夹角为,?则由方向导数的. tan ????l f 半切线,定义得 Ml P ?方向导数与梯度 5 ??),(),( lim 0yxfyyxxfl f?????????ρ一定为正! x yxfyxxfx f x?????????),(),( lim 0是函数在某点沿任何方向的变化率. 方向导数偏导数 y yxfyyxfy f y?????????),(),( lim 0分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负! 的变化率. 注方向导数与梯度 6 事实上,x yxfyxxfi f x???),(),( lim 0???????),,(yxf x?的方向导数存在,事实上,y yxfyyxfj f y???),(),( lim 0???????),,(yxf y?),(yxf 当函数轴正向沿在点函数 xyxPyxf),(),( )0,1(?1e. xf 且值为同理, 轴正向沿在点函数 yyxPyxf),(),( 2e )1,0(?的方向导数存在,. yf 且值为 yxffyxP,),( 的偏导数在点方向导数与梯度存在时, 7???i f???j f x yxfyxxf x????????),(),( lim 0y yxfyyxf y????????),(),( lim 0 ),,(yxf x??)1,0(?).,(yxf y??轴负向沿在点函数 xyxPyxf),(),()0,1(?轴负向沿在点函数 yyxPyxf),(),( 方向导数与梯度反之,i fi f????或当存在时,x f??是否一定存在????????????j fj f或????????y f 8 方向导数与梯度例如, 函数处在点)0,0( 22yxz??沿方向 il ???的方向导数??),(),( lim 0yxfyyxxfl f???????????????i fl f,1 lim 0????x x x???但???x f, || lim 0x x x?????不存在. 即z在(0, 0) 点的偏导数不存在.|| 00)( lim 220||x x x??????x x x???00)( lim 220???x yxfyxxfx f x???),(),( lim 0????????x z xx???0 lim 9 证由于函数可微,??????),(),(yxfyyxxf 得到 3. 关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理. cos cos ??y fx fl f????????处在点设),(),(yxPyxfz?, 导数都存在的方向在该点沿任意指定方向 l 可微,则函数且. 的夹角轴正向轴、与分别为方向、其中 yxl??则增量可表示为)(?oyy fxx f????????两边同除以,?方向导数与梯度 10? cos ? cos ???????),(),(yxfyyxxf 故有方向导数??),(),( lim 0yxfyyxxf??????. cos cos ??y fx f?????????l f ??????),(),(yxfyyxxf )(?oyy fxx f????????????)(oyy fxx f??????????方向导数与梯度? y? l???P ?x?? x yOP