文档介绍：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍(1 )重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2 )垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3) 内心——角平分线的交点( 内切圆的圆心): 角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4 )外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1)????0 OC OB OA O 是 ABC ?的重心. 证法 1 :设),( ),,( ),,( ),,( 332211yxCyxByxAyxO????0 OC OB OA ???????????????0)()()( 0)()()( 321 321yyyyyy xxxxxx??????????????3 3 321 321yyyy xxxx ?O 是 ABC ?的重心. 证法 2 :如图? OC OB OA ??02??? OD OA ? OD AO 2??DOA、、三点共线,且 O 分 AD 为2:1?O 是 ABC ?的重心(2)?????? OA OC OC OB OB OAO 为 ABC ?的垂心. 证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心, BE 垂直 AC , AD 垂直 BC ,D、E )(???????? CA OB OC OA OB OC OB OB OA 同理 BC OA ?, AB OC ??O 为 ABC ?的垂心(3)设a ,b ,c 是三角形的三条边长, O是? ABC 的内心 O OC c OB b OA a????0 为 ABC ?的内心. 证明: b AC c AB 、?分别为 AC AB 、方向上的单位向量, ?b AC c AB ?平分 BAC ?, AC OB ??(??? AO b AC c AB ?) ,令cba bc?????cba bc AO ???(b AC c AB ?) 化简得 0)(????? AC c AB b OA cba?0??? OC c OB b OA a (4) OC OB OA ???O 为 ABC ?的外心。已知 O 是 ABC △所在平面上一点,若 2 2 2 OA OB OC ? ????????????????,则 O 是 ABC △的外心. 【解析】若 2 2 2 OA OB OC ? ????? ????????,则 2 2 2 OA OB OC ? ????? ????????,∴ OA OB OC ? ????? ????????,则O 是 ABC △的外心,如图。典型例题: 例1:O 是平面上一定点, CBA、、是平面上不共线的三个点,动点 P 满足)( AC AB OA OP ????,?????,0?,则点 P 的轨迹一定通过 ABC ?的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心分析:如图所示 ABC ?,ED、分别为边 AC BC 、的中点. AD AC AB 2???? AD OA OP ?2?? AP OA OP ??? AD AP ?2?? AP ?// AD ?点P 的轨迹一定通过 ABC ?的重心,即选 C . 例2:( 03 全国理 4)O 是平面上一定点,CBA、、是平面上不共线