文档介绍：授课内容
教学时数
教学目标
教学重点
教学难点
教学方法与
手段
单性质
线性空间的定义与简单性质
讲授法 启发式
一 . 线性空间的定义
(1) 定义 1( 线性空间 ) 设 V 是一个非空集合 , 且 V 上有一个二元运算“ +”
(V V V ) , 又设 K 为数域 ,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“ ? ”
(K V V) , 且“ +”与“ ? ”满足如下性质 :
1、加法交换律 , V,有 ；
2、加法结合律 , , V,有( ) ( )；
3、 存在“零元” , 即存在 0 V , 使得 V,0 ；
4、存在负元 ,即 V,存在 V,使得 0；
5、 “1律” 1? ；
6、 数乘结合律 k, l K , V , 都有 ( kl ) k(l ) l (k ) ；
7、 分配律 k,l K , V , 都有 (k l ) k l ；
8、 分配律 k K , , V , 都有 k( ) k k ,
则称 V为 K上的一个 线性空间 , 我们把线性空间中的元素称为 向量 . 注意 : 线性空
间依赖于“ +”和“ ?”的定义 , 不光与集合 V 有关 .
零向量和负向量的唯一性 , 向量减法的定义 , 线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质
命题 1 零元素唯一 , 任意元素的负元素唯一 .
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证明:设0与
0' 均是零元素 , 则由零元素的性质
, 有 0
0'
0 0'；
V , 设
,
'都是
的负向量 , 则
0
( '
)
' (
)
0
,
于是命题得证 . 由于负向量唯一 , 我们用
代表
的负向量 .
定义 2(减法)
我们定义二元运算减法“
-”如下 :
定义为
(
) .
命题 2
线性空间中的加法和数乘满足如下性质
:
1、 加法满足消去律
；
2、 可移项
；
3、 可以消因子k
且 k
1
；
0, 则
k
4、 0?
0,
k ?0
0,
( 1)
.
线性空间的例子
例 1 令 V 表示在 (a,b) 上可微的函数所构成的集合 , 令 K ? ,V 中加法的定
义就是函数的加法 , 关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法 ,V 构成 K 上的线性空
间.
二 线性空间中线性组合和线性表出的定义 , 向量组的线性相关与线性无关
的定义以及等价表述
, 向量组的秩 , 向量组的线性等价；极大线性无关组.
定义 3( 线性组合 )
给定 V 内一个向量组
1, 2,L ,
s , 又给定数域 K 内 s 个
数 k1, k2 ,L , ks , 称 k1
1
k2 2 L
ks
s 为向量组
1 ,
2 ,L
,
s 的一个 线性组
合 .
定义 4( 线性表出 )
给定 V内一个向量组
1, 2,L
,
s , 设
是 V 内的一个向
量, 如果存在 K 内 s 个数 k1, k2 ,L
,ks , 使得
k1 1
k2 2
L
ks
s , 则称向
量 可以被向量组
1,
2 ,L , s 线性表出 .
定义 5( 向量组的线性相关与线性无关
)
给定 V 内一个向量组
1,
2 ,L , s ,
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如果对
V 内某一个向量
, 存在数域 K
内不全为零的数
k1 , k2 ,L , ks , 使得
k1
1
k2
2
L
ks s
0 , 则称向量组
1, 2,L ,
s 线性相关 ；若由方程
k1
1
k2
2
L
ks s
0 必 定 推 出 k1
k2 L
ks