文档介绍：第六章 数列
二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前〃项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。
注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求：% = dn +（Q] —d）,
即：an = f（n） = kn+m, （k,m为常数）
an =kn+m,（奴m为常数）是数列｛q｝成等差数列的充要条件。
.等差中项：
47 +厂
若a,A,c成等差数列，则人称a与c的等差中项，且》=——；成等差数列是2b = a + c的充要条件。
2
.前〃项和公式
〃（〃 —l）d
S,, = ； S, = nax + —-—
特征：S" +（% —
即 s“ = /（«） = An2 + Bn
Sn=A^+Bn （A,B 为常数）
是数列｛。“｝成等差数列的充要条件。
等差数列｛an｝的基本性质（其中p,qwN*）
（1） 若〃z + 〃 = p + 0,贝Uq”+% = a,+% 反之，不成立。
（2） q ~am = （n-m）d
（3） 2。" = an_m + an+m
（4） Sn,S2n — Sn, S3” — S2n 仍成等差数列。
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
定义法：
— a” = d（常数）（〃 c N*）=> ｛a“｝是等差数列
中项法：
2% = a" + % （〃cN*）n｛a"｝是等差数列
通项公式法：
«„ =kn + b （奴人为常数）n"｝是等差数列
前〃项和公式法:
Sn = An2 + Bn （A,B为常数）n ｛⑶｝是等差数列
课前热身
等差数列｛%｝中,
角 + % + % + "io + "12 = 120, 则％-：知的值为（c ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
解 ％ _ 5 口11 = % _ a （。9 + 2d）
2 2 120
= 一（%—』）=一%= =16
9 3 8 3 5
等差数列｛。〃｝中，ax >0, S9 = Sn,则前10或11项的和最大。
解：S9 = S12，Sn - S9 =Q
..I]。+1】】+= °，* * 3i]] — 0,
..] = 0, > 0
.•.｛%｝为递减等差数列... Si。= Sn为最大。
已知等差数列｛"」的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为一110
解：•••
Si。，S20—Si。，S30—S20,…，Si】。—Si。。，… 成等差数列，公差为D其首项为
510 = 100 ,前 10 项的和为 5100 = 10
I Qx 9
.*.100x10 + xD = lQ, :,D = -22
2
又S110 — S100 = S10 +10。
S||0 =100 + 10 + 10・（-22） = -110
y = 50〃-98-"2〃 + 〃（"T）x4
_ 2 _
=-In' + 40/Z-98
=-2（〃-10）2 +102
所以当"=10时，ymax = 102
6 .设等差数列｛0」的前〃项和为S”,已知
。3 — 12, S]2 > 0, S]3 < 0
求出公差d的范围，
指出Si，S2, S12中哪一个值最大，并说明理由。
d an= f(n) n an Sn > 2”
解：① Sn = 6(%+%2)= 6(%+。10)
=6(2角 +7H) > 0
, , 24
24 + 7d〉0 .•.(!■>
7
又 §3 = 13(.；%)=与(向 +«11)
13
=^(2。3 +汕<0
24 + 8d v 0 .,.(!< —3
24 从而——<d<-3
7
②
S12 = 6(% +)〉0
S】3 = 13。7 v 0
CL] < 0, 。6〉0 S&取大。
课外练习
一、选择题
已知｛%,｝数列是等差数列，al0 = 10 ,其前10项的和»o=7O,则其公差H等于(D
3
C.-
3
B.--
3
D.-
3
已知等差数列｛%｝中，。7 +。9 16，。4 = L贝等于（A ）
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
解：+a9 =角 + an
..。]2 =15
二、填空题
设5〃为等差数列"｝的前〃项和，54 =14, 510-57 =30,则Sg=54
已知等差数列｛。〃 ｝的前〃项和为，若S]2 = 21,则+。5 +。8 +。11 =
2 2
设F是椭圆—+ ^ = 1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点
7 6
隼，=1,2,...）使
"