文档介绍：高二数学复****讲义一导数及其应用
高考题型
知识归纳
导数的概念
f (x)在点X。处的导数，记作f' (X。)或
例1 (北示iWj考)如图，函数的图象是
折线段ABC,其中A, B, C的坐标分别的取值范围是 "8］
［一井•
利用导数解决实际问题
例8用长为18 cm的钢条围成一个长方体形 状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体 积最大？最大体积是多少？
V(x) = 2x2(-3%) = 9%2 -6x3(m3) |^0<x<|
从而 V'(x) = 1 -1 &r2(-3x) = 1 &r(l-x).
令V*(x) = 0 ,解得x = 0 (舍去)或x = l,因 此 x = 1.
当0 v尤v 1时，V*(x) >0 ；当1<工<5时， r(x)<o,故在工=1处v(x)取得极大值，并
且这个极大值就是的最大值，从而最大
体积v = v任) = 9xf —6xl3(m3),此时长方 体的长为2 m,高为1. 5 m
解：设长方体的宽为x (m),则长为2x (m), 高为］1 = -8"12- = - 3x(m) ((<-'|.
4 I 2J
故长方体的体积为
导数及其应用［基础训练A组］
一、选择题
若函数y = f⑴在区间(。,力)内可导，且xoe(«,Z7)则lim四匚少二性也 力项 h
的值为( )
A. /(%„) B. 2/(%0) C. -2/(%0) D. 0
lim'3°+")一f(*°—”)= lim2[f
人t° h 必° 2h
= 2/(x0)
21im'3° + ")—'3°—”)
fo 2h
2.
一个物体的运动方程为s = l-f +尸其中s的单位是米,
f的单位是秒,
那么物体在3秒末的瞬时速度是()
C. 5米/秒
D. 8米/秒
A. 7米/秒 B. 6米/秒
s'⑺=2—l,s'(3) = 2x3_l = 5
函数y = %3 + %的递增区间是()A. (0,+oo) B. (-00,1) C. (-00,+00) D. (l,+oo)
y = 3x2 + 1> 0对于任何实数都恒成立
f(x)=ax3+3x-+2,若 f'(—1) = 4,则a 的值等于()
A 19 日 16 c 13 10
3 3 3 3
'3 = 3 逐+6》，f'( -1) = 3“-6 = 4,〃 = ?
函数> =/(x)在一点的导数值为0是函数y = /(x)在这点取极值的()
对于/(%) = %3,/'(%) = 3%2,/'(0) = 0,不能推出/Xx)在x = 0取极值，反之成立
函数y = x4-4x + 3在区间［-2,3］上的最小值为()
A. 72 B. 36 C. 12 D. 0
y = 4x3 -4,令y = 0,4x3 -4-0,x-1,当x< 1时,y <0;当x > 1时,y >0
得片及小值=处=1 = °，而端点的函数值元=_2=27,元=3=72 ,得％ =°
二、 填空题
1-若 /(x) = x3,/'(x0)=3,则吒的值为； f (^o)= 3xo2 = 3,x0 = ±1
曲线y = lnx在点M(e,l)处的切线的斜率是,切线的方程为
1 1, 1 ,1 , 1
-,x-ey = 0 y =-,k = y \x_e = -,y-l = -(x-e),y = -x e x e e e
函数y = J +亍—5工_5的单调递增区间是
令/ — 3 %2 + 2x — 5 > 0, < —, > 1
3
三、 解答题
-6y + l = 0并且与曲线尸尸+3工2_5相切的直线方程。
解：设切点为P(a,b),函数j = x3+3x2-5的导数为)=3工2+6］
切线的斜率上=y |工=白=3口2 +6" = —3 ,得。=一1,代入至!j y = x3 +3x2 -5
得b = —3, BP P(-l,-3), y + 3 = —3(x+l),3x+y + 6 = 0。
求函数 y = (x-a)(x-b)(x-c)的导数。
解： y =(x-a) (x-b)(x-c)-h(x-a)(x-b) (x-c)-h(x-a)(x-b)(x-c)
=(x -b) (x- c) + (x- a) (» c)+ (ah a)(
求函数f(x)=顼+5彳+5另+在区间[-1,4]上的最大值与最小值。
解：/,(x) = 5x4+2Qx3 +15x