文档介绍：线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]   
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线性代数总结
 
一、课程特点
 
    特点一：知识点比拟细碎。
如矩阵局部涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而向量线性表出。
   3〕假设线性无关，而线性相关，那么向量可由向量组线性表示，且表示法唯一。
2．向量组线性表示与等价的有关结论：
1〕一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。
2〕如果向量组可由向量组线性表示，那么有
3〕等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；
4〕任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
3．常见的线性无关组：
1〕齐次线性方程组的一个根底解系；
2〕、、这样的单位向量组；
3〕不同特征值对应的特征向量。
4．关于秩的一些结论：
1〕；
2〕；
3〕；
4〕；
5〕假设有、满足，那么；
6〕假设是可逆矩阵那么有；
7〕假设可逆那么有；
8〕。
4．线性方程组的解：
1〕非齐次线性方程组有唯一解那么对应齐次方程组仅有零解；
2〕假设有无穷多解那么有非零解；
3〕假设有两个不同的解那么有非零解；
4〕假设是矩阵而那么一定有解，而且当时有唯一解，当时有无穷多解；
5〕假设那么没有解或有唯一解。
 
四、特征值与特征向量
 
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身〞。本章知识要点如下：
1．特征值和特征向量的定义及计算方法
就是记牢一系列公式如、、和。
常用到以下性质：
假设阶矩阵有个特征值，那么有；
假设矩阵有特征值，那么、、、、、分别有特征值、、、、、，且对应特征向量等于所对应的特征向量；
2．相似矩阵及其性质
定义式为，此时满足、、，并且、有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵与矩阵等价〔〕的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过初等变换化为矩阵，并有；当中的、互逆时就变成了矩阵相似〔〕的定义式，即有；矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：假设与合同或相似那么与必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。
3．矩阵可相似对角化的条件
包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是阶矩阵有个线性无关的特征向量；充要条件2是的任意重特征根对应有个线性无关的特征向量；充分条件1是有个互不相同的特征值；充分条件2是为实对称矩阵。
4．实对称矩阵及其相似对角化
阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵，即有正交矩阵使得，而且正交矩阵由对应的个正交的单位特征向量组成。
可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求比拟困难；但如果有矩阵使得满足〔对角矩阵〕的话就简单多了，因为此时
而对角阵的幂就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且中的、也分别是由的特征向量和特征值决定的。
 
五、二次型
 
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化〞，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：
1．二次型及其矩阵表示。
2．用正交变换化二次型为标准型。
3．正负定二次型的判断与证明。
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学****线性代数总结
2009年06月14日星期日上午 11:12
学****线性代数总结
                                                     
       线性代数与数理统计已经学完了，但我认为我们的学****并没有因此而结束。我们应该总结一下这门课程的学****的方法，并能为我们以后的学****和工作提供方法。这门课程的学****目标：《线性代数》是物理系等专业的一门重要的根底课，其主要任务是使学生获得线性代数的根本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方