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数列求和的常用方法
数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思
路是,抓通项,找规律,套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法:
一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
n a + a n n -
= ( 1 n ) = + ( 1)
1、等差数列求和公式: Sn na d
2 1 2
ì na q =
ï 1 ( 1)
2、等比数列求和公式: = í a - q n a - a q
S n 1 (1 ) = 1 n ¹
ï (q 1)
î 1- q 1- q
n n
= = 1 + = 2 = 1 + +
3、 Sn å k n(n 1) 4、 Sn å k n(n 1)(2n 1)
k =1 2 k =1 6
n
= 3 = 1 + 2
5、 Sn å k [ n(n 1)]
k =1 2
例 1(07 高考山东文 18)设{an }是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列{an }的前 n 项和.
已知= ,且+, , + 构成等差数列.
S3 7 a13 3 a 2 a 3 4
(1)求数列{an }的等差数列.
(2)令=, = ,, ,求数列的前项和.
bnln a3 n+ 1 n 1 2 {bn } n T
ì a+ a + a = 7,
ï 1 2 3
解:(1)由已知得í 解得= .
: (a+ 3) + ( a + 4) a2 2
ï 1 3 = 3a .
î 2 2
2
设数列{a }的公比为 q ,由 a = 2 ,可得 a=, a = 2 q .
n 2 1q 3
2
又 S = 7 ,可知+2 + 2q = 7 ,即 2q2 - 5 q + 2 = 0 ,
3 q
1
解得 q=2, q = .由题意得 q>1, \ = q 2.
1 2 2
-
\ = .故数列的通项为= n 1 .
a1 1 {an } an 2
2
(2)由于=, = ,, ,由(1)得= 3n
bnln a3 n+ 1 n 1 2 a3n+ 1 2
\ =3 =n , 又- =
bn ln 2 3 n ln 2 bn+1 b n3ln 2 n
\
{bn }是等差数列.
\ = + + +
Tn b1 b 2 b n
n b+ b
= (1 n )
2
+
= n(3ln 2 3ln 2)
2
3n ( n + 1)
= ln 2.
2
3n ( n + 1)
故 T = ln 2 .
n 2
* Sn
练习:设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N ,求 f n = 的最大值.
( ) +
(n 32)Sn+1
= 1 + = 1 + +
解:由等差数列求和公式得 S n n(n 1) , S n (n 1)(n 2) (利
2 2
用常用公式)
S n
∴ f (n) = n =
+ 2 + +
(n 32)Sn+1 n 34n 64
1 1 1
= = £
64 8 2 50
n + 34 + ( n - ) + 50
n n
8 1
∴当- ,即 n=8 时, =
n f (n)max
8 50
二、错位相减法
{ } { } { }
设数列 an 的等比数列,数列 bn 是等差数列,则数列 anbn 的前 n 项和 S n 求解,
均可用错位相减法。
+ *
例 2(07 高考天津理 21)在数列{ } 中, =, = +n1 + - n Î ,
an a12 an+ 1 a n (2 )2 ( n N )
其中> 0 .
3
{ }
(Ⅰ)求数列 an 的通项公式;
{ }
(Ⅱ)求数列 an 的前 n 项和 Sn ;
+ *
(Ⅰ)解:由= +n1 + - n Î , > ,
an+1 a n (2 )2 ( n N ) 0
n+1 n
a+ æ2 ö a æ ö 2
可得 n1 -ç ÷ = n - ç ÷ + 1,
n+1 è ø n è ø
ì ün n
ïa æ2 ö ï a æ2 ö
所以 n - 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 n - = - ,所以数列
ín ç ÷ ý ç ÷ n 1
îïè ø þï n è ø
{ } = -n + n