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解析几何专题
题型一：结合韦达定理解题
〔Ⅰ〕定值问题：
例1、椭圆：〔〕的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．的最大值为，最小值为．
〔１〕求椭圆的方程；
〔２〕假设直线：与椭圆相交于、两点〔、不是左右时，以AB为直径的圆的方程：
由即两圆公共点〔0，1〕
因此，所求的点T如果存在，只能是〔0，1〕
〔ⅰ〕当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T〔0，1〕
〔ⅱ〕假设直线L斜率存在时，可设直线L：
由
记点．
∴TA⊥TB,
综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕，以AB为直径的圆恒过点T〔0，1〕．
〔Ⅱ〕取值范围问题：
例3、如下列图，圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E；
〔I〕求曲线E的方程；
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〔II〕假设过定点F〔0，2〕的直线交曲线E于不同的两点G、H〔点G在点F、H之间〕，且满足，求的取值范围．
【解】〔1〕
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分
又
∴动点N的轨迹是以点C〔－1，0〕，A〔1，0〕为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2. ……………5分
∴曲线E的方程为………………6分
〔2〕当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设……………………8分
，
……………………10分
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又当直线GH斜率不存在，方程为
……………………………………12分
如图，椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k〔k≠0〕的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
〔1〕是否存在k，使对任意m>0，总有成立？假设存在，求出所有k的值；
〔2〕假设，求实数k的取值范围．
【解】〔1〕椭圆C： 1分
直线AB：y＝k〔x－m〕,………… 2分
，〔10k2＋6〕x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0． 3分
设A〔x1,y1〕、B〔x2,y2〕,那么x1＋x2＝，x1x2＝ 4分
那么xm＝ 5分
假设存在k,使为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为． 6分
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由N点在椭圆上，那么 7分
即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－〔舍〕．
故存在k＝±1使 8分
〔2〕＝x1x2＋k2〔x1－m〕〔x2－m〕
＝〔1＋k2〕x1x2－k2m〔x1＋x2〕＋k2m2
＝〔1＋k2〕· 10分
由得 12分
即k2－15≤－20k2－12,k2≤且k≠0． 14分
抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数〕；
〔I〕求抛物线方程；
〔II〕斜率为的直线与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线与抛物线的另一交点为B
〔A、B两点不同〕，且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
〔III〕在〔II〕的条件下，当时，假设P的坐标为〔1，－1〕，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．
【解】〔I〕由题意可设抛物线的方程为,
∵过点的切线方程为,
………………2分
∴抛物线的方程为…………………………………………………3分
〔II〕直线PA的方程为,
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同理,可得. …………………………………………………………5分
…………………………6分
又
∴线段PM的中点在y轴上.……7分
〔III〕由
………………………………………8分
∵∠PAB为钝角，且P, A, B不共线,
即 ……………10分
又∵点A的纵坐标 ∴当时，；
当
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为……………12分
椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P〔4，0〕且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点；
〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕求的取值范围；
〔3〕假设B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
(1)解：由题意知，∴，即
又，∴故椭圆的方程为
(2)解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为
由得：
由得：
设
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A(x1，y1)，B (x2，y2)，那么 ①
∴
∴
∵，