文档介绍：重点难点
重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离
难点：将立体几何问题转化为向量问题．
知识归纳
一、空间的角
空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角来定C上，点N在DE上，且AMMC＝DNNE＝a.
求证：MN∥平面BCEF.
∵MN⊄平面BCEF，∴MN∥平面BCEF.
自己再建立空间直角坐标系，用坐标法证明.
[例2] 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，
点评：①证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0.
②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n.
或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a·e＝0，b·e＝0.
③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1·n2＝，在另一个平面β内取基向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2.
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，
(1)求证：平面ADE∥平面B1C1F；
(2)求证：平面ADE⊥平面A1D1G；
(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
取y1＝1，z1＝－2，∴n1＝(0,1，－2)．
同理可求n2＝(0,1，－2)．
∵n1∥n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.
[例3] 如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
分析：正四棱柱容易建立坐标系，求出点的坐标，故用坐标法求解．
答案：D
(2010·衡水市模考)正四棱锥P－ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于( )
答案：D
②可连结AC，取AC中点O，则EO∥PA，∴∠BEO为所求角，通过解△BEO求得.
[例4] (2010·湖南理)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
这说明在棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
解法2：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，
所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， ∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.
因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B.
又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.
这说明A1，B，G，E共面．所以BG⊂平面A1BE.
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG.
而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.
点评：直线与平面斜交时，直线的方向向量与平面的法向量所成的角θ，不等于直线与平面所成的角φ，应弄清它们之间的关系，即sinφ＝|cosθ|.
所以直线CA1与平面A1ABB1所成的角为45°.
答案：45°
(1)证明：M是侧棱SC的中点；
(2)求二面角S－AM－B的余弦值．
分析：由条件知AD、CD、SD两两垂直，SD与底面矩形的边长已知，故建立坐标系用坐标法求解比较简便．
(2)可分别求出平面SAM和MAB的一个法向量，利用法向量的夹角与二面角的关系求解．
解析：解法1：(1)如图，以A为坐标原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，
又由(1)知PC⊥平面BEF，∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
在△PBC中，PB＝BC，∠PBC＝90°，∴∠PCB＝45°.
所以