文档介绍：微积分张博宇 2013-12-18 第二章一元微积分初步 ?设f在[a,b]上连续,则函数在[a,b]上可导,并且即是f(x)在[a,b]上的一个原函数。( ) ( ) xa x f t dt ? ??'( ) [ ( ) ] ( ). xad x f t dt f x dx ? ? ??( ) x?微积分学基本定理?设f(x)在[a,b]上连续(可积),且 F(x)是f(x) 的一个原函数,则称为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式。也可写为( ) ( ) ( ) ba f x dx F b F a ? ??( ) ( ) | bba a f x dx F x ??定积分的计算?换元积分法设函数 y=f(x)与x=g(t)能构成复合函数, 且f在[A,B]连续, g’在[a,b]连续,则?分部积分法设函数 u,v 的导函数 u’,v’在[a,b]连续,则( ) ( ) ( ) [ ( )] '( ) . g b b g a a f x dx f g t g t dt ?? ?( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . b b ba a a u x v x dx u x v x u x v x dx ? ?? ?应用?奇偶函数积分性质若f是[-a, a]上的连续偶函数,则若f是[-a, a]上的连续奇函数,则?周期函数积分性质若f是R上周期为 T的连续周期函数,则对任意 a, 0 ( ) 2 ( ) . a a a f x dx f x dx ??? ? 0 ( ) ( ) . a T T a f x dx f x dx ??? ?( ) 0. aa f x dx ???例子 20 (1) sin m m J xdx ??? 231 1 0 (2) ( ) , ( 2) 0 x x x f x f x dx e x ??? ?? ????? 1201 (3) ( ) [0,1] ( ) ( ) 1 x f x f x e f x dx x ? ???设在可积, 7 1 =3e ? 10 ( ) f x dx ?=12 ? 2 2 4 4 2 2 lim 2 1 3 3 5 5 (2 1) (2 1) n n n n n ????? ?? ??????? ???????瓦里斯公式:定积分换元法求面积( - sin ), (1- cos )( 0) x a t t y a t a x ? ??求由摆线的一拱与轴围成的面积。 20 a S ydx ??? 23a???积分区间必须是闭区间[a,b]。?被积函数必须是[a,b]上的有界函数。?无界区间上的积分和无界函数的积分统称为广义黎曼积分。?无界区间上的广义积分称为无穷积分。?无界函数的广义积分称为瑕积分。黎曼积分无穷积分?设函数 f在[a,+∞)有定义,且 f在任何有界区间[]上黎曼可积,若存在,则称 f在[a,+∞)广义黎曼可积,称 I 为其无穷积分,记作?此时也称称广义积分收敛。?若上述极限不存在,则称广义积分发散。( ) . a I f x dx ???? lim ( ) BaB I f x dx ?????( ) a f x dx ???