文档介绍：高数11-2
汇报人:
4.【定理3】比较审敛法的极限形式
设
与
都是正项级数
,
如果
则
(1)
当
时
,
二级数有相同的敛散性
(2)
当
时，若
收敛
,
则
收敛
(3)
当
高数11-2
汇报人:
4.【定理3】比较审敛法的极限形式
设
与
都是正项级数
,
如果
则
(1)
当
时
,
二级数有相同的敛散性
(2)
当
时，若
收敛
,
则
收敛
(3)
当
时
,
若
发散
,
则
发散
［同敛散］
［同敛］
［同散］
【证明】
由比较审敛法的推论, 得证.
(3) 当l = ∞时,
即
由定理2可知, 若
发散 ,
(2) 当l = 0时,
由定理2 知
收敛 ,
若
特别取
可得如下结论 :
对正项级数
【证】
【解】
原级数发散.
故原级数收敛
(3)
根据比较审敛法的极限形式知
【证明】
6.【定理4】比值审敛法 (达朗贝尔判别法)：
若将正项级数与等比级数比较，则得到两个实用中很方便的比值判别法和根值判别法.
故原级数收敛
取适当小的正数ε
如图
级数发散
比值审敛法的优点:
不必找参考级数.
取适当小的正数ε
【两点注意】
事实上，对P—级数，
【例】
但
级数收敛 ;
级数发散 .
时,级数可能收敛也可能发散.
【解】
，而非必要(逆命题不成立)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
［补例］ 讨论级数
的敛散性 .
【解】
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
故级数收敛.
【例如】
(柯西判别法)：
【说明】
（2）根值法常用于一般项un中含有指数为n次幂的级数的判别.
（3）比值法较根值法更常用.
（1）根值法条件同样是充分条件，不必要.
二、交错级数及其审敛法
【定义】 正、负项相间的级数称为交错级数.
【定理7】（莱布尼兹定理）
( Leibnitz 交错级数 判别法 )
若交错级数满足条件:
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
【证明】
满足收敛的两个条件,
【证毕】
【解】
原级数收敛.
此为交错级数
【注意】条件(ⅰ)是充分条件，不必要 . 条件(ⅱ)是任何级数收敛的必要条件. 即使不满足条件(ⅰ) , 交错级数仍有可能收敛.
【快速练****br/>收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
【定义】 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
【证明】
【例如】
为条件收敛
为绝对收敛
均为绝对收敛.
【说明】
（1）上定理的作用：
任意项级数
正项级数
（2）逆命题不成立.
如
收敛，
发散
此为变号级数（任意项级数）
【例6】
证明下列级数绝对收敛 :
【证】 (1)
而
收敛 ,
收敛
因此
绝对收敛 .
(2) 令
因此
收敛,
绝对收敛.
四、小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性(定义)
2. 利用正项级数审敛法
常数项级数审敛
3. 任意项级数审敛法
绝对收敛
条件收敛
Leibniz判别法:
正 项 级 数
任意项级数
审
敛
法
1.
2.
(基本 定理1)
(三种形式)
(达朗贝尔)
(柯西)
(条件收敛)
(莱布尼茨定理)
;
设正项级数
收敛,
能否推出
收敛 ?
［提示］
由比较审敛法极限形式可知
收敛 .
【注意】
反之不成立.
例如,
收敛 ,
发散 .
【思考与练****br/>［思考］若将上述正项级数改为一般项级数,还成立吗?
收敛 ,
发散 .
感谢一路有你
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