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第三讲菱形和正方形
一、知识点和方法概述
(一)菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱例4自矩形ABCD勺顶点C作CE丄BD，E为垂足，延长EC至F,使CF=BD连接AF,贝，BAF的大小是多少？（1998年迎春杯初二1试）
解：连结AC
•••在矩形ABCD中,AC=BD11
AOACBD=BO22
•••1"BAO=/BAF2
vCF=BD
•••AC=CF
•••2"F
vCE_BD
•••GEF=90
v在ABG和uEGF中，1BAFAGB=180，
FGEFEGF=180又•••AGB"EGF••…1BAF"FGEF"BAF2BAF“290二BAF二45例5如图，在矩形ABC冲，已知两邻边AD=12AB=5P是AD边上任一点,PE_BD,PF_AC,E、F分别是垂足，则PEPF的值为多少？
解法1:过A作AM丄BD于M过P作PN_AM于M•••在矩形ABCC中，.BAD=90,AD=12AB=5
•••在RtBAD中，BD=；52122=13
-1111…SABDABAD512BDAM13AM
°2222AM=聖tPE_BD•.PNM—NME=/MEP=9013•四边形PNM是矩形•NM-PEtPF_AC•PFA=/ANP=90•••在RtAMB中，.AMB=90•1■ABM=90同理2■ABM=-/211t在矩形ABCD中,AOACBD=OD•.3=/2.••1=/322T1NAP=90又t在RtAMB中，AMB=90,NAPAPN=90APN二3Zanp=npfa（已证）t在ANP和PFA中，•APN=•3（已证）•ANP也PFA（.）AP=AP（公共边）AN=PF•AM=ANNM=PFPE=—13解法2:（面积法）连结POt在矩形ABCD中,AO=OC,AC=BD
BAD=90•在RtBAD中，'22BD»512=13=AC
S.'AOD-S「DOC
1
1
1
1
—S「4CD
=—k
—S矩形ABCD
S矩形ABCD
2
2
2
4
=1512=15
4
^-comSAODJoAPF1OD
22PEJ1AC(PFPE)
22
PFPE=
60
BFC
tEMFH
」HFEM2
=15丄AB二1EH222
二1113(PFPE)=〔S矩形abcd二1125
224413课后练****如图，将矩形ABCD勺四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH若EH=3EF=4那么线段AD与AB的比等于_—（2001年迎春杯初二2试）解：•••.：EMH也：EAH•••AE=EMAEH"MEH,.EMH"A同理，BE=EMBEF"MEF•••AE=E,HEF"HEM•MEF=90同理，DG=GCEFG"FGH=90•••四边形EFGH是矩形•••EG=FH•••在四边形ABCD中,AB//DC，AB=DCA=90°•AE//DG，AE=DGZEMH=90。
•四边形AEGD!矩形•AD=EG•AD=FHv在RMFE