文档介绍：数值分析 Numerical Analysis
第八章
常微分方程数值解法
郑州大学研究生课程(2010-2011学年第一学期)
ISCM 2007,Beijing China
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第八章常微分方程数值解法
§ 引言
§ 欧拉(Euler)法
§ 改进欧拉(Euler)方法
§ 单步法的稳定性
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§ 引言
问题提出
,可以利用圆柱体体积公式
,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上如何标出刻度呢?
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§ 引言
下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系.
H 0
D 0
根据上表的数据,可以拟合出倒葫芦形状容器的图,建立如图所示的坐标轴后,问题即为如何根据任意高度x标出容器体积V的刻度,由微元思想分析可知
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§ 引言
其中x表示高度,直径D是高度x的函数,记为D(x),因此得到如下微分方程初值问题
只要求解上述方程,就可求出体积V与高度x之间的函数关系,从而可标出容器壁上容积的刻度,但问题是函数D(x)无解析表达式,我们无法求出其解析解.
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§ 引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数
都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。
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常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数)
偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数)
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同一个微分方程,具有不同的初始条件
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当x=0时,y=1,可得c=1特解
当x=0时,y=1,可得c=-1特解
两边积分
通解
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§ 引言
在高等数学中,对于常微分方程的求解,给出了一些典型方程求解析解的基本方法,如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的,大多数的常微分方程是不可能给出解析解。
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