文档介绍：高 一 数 学 函 数
一、知识结构
二、重点难点
重点 ：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂
（ ）反函数的意义： 一般地，式子 y
，
值域为 B、我们从式子 y
f ( x) 中解出 x ，得到式子 x
( y) 。如果对于 y 在 C 中的任何一个
值，通过式子 x
( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
x
( y) 就表示 x 是
自变量 y 的函数，这样的函数 x
( y) ，叫做函数 y
f ( x) 的反函数，记作 x
f 1( y) ，即
x
( y) f
1 ( y) ，在函数式 x
f
1 ( y) 中， y 表示自变量， x 表示函数。习惯上，一般用
x
表示自变量，用
y 表示函数 . 为此对调函数式
x
f 1 ( y) 中的字母 x, y ，把它改写成
y f 1( x) 。 1） y
f ( x)
与
y
f 1( x)
具有四性：
A、互换性；
B、对称性；
C、奇偶性；
D、
单调性；
2）
y
f (x)
和
y
f
1
(x)
互为反函数，即
f [ f
1(
x)]
x( x
B)
或
f 1[
f (x)]
x(x
A) ；3）求反函数的步骤：
A、解出
x
f 1 (
y)
；B、交换
x, y ，得
y
f 1( x)
；
C、解出反函数的定义域
( 即原函数值域
) ；4）互为反函数的两个函数图像关于直线
y x 对称；
（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数 . 根据反函数的定义，只有原象具
有唯一性的函数，即对任意的 x1 x2 ，能推断出 f (x1) f ( x2 ) 成立的函数才具有反函数；
（3）反函数与原函数的关系： 1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函
数的定义域；
2）
y
f ( x)
与
1
( x)
f ( x)
A
C
y f
互为反函数，设
的定义域为
，值域为
，则有
f [ f 1 (x)]
x(x
C ) ， f 1[ f ( x)]
x(x A) ；
（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为： 1）由
y f (x) 解出 x ( y) ； 2）交换 x, y ，得 ( x) f 1 ( x) ； 3）根据 y f ( x) 的值域，写出
f 1( x) 的定义域。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（1）幂、指数、对数式
1）同底数幂的运算性质：
①
a
m
ga
n
a
m n ( ,
)
，② (a
m
n
a
mn
(m, n Q ) ，③ (ab)
n
n
n
(n Q ) ；
m n
Q
)
a
gb
2）根式的运算性质：
① ( n a )n a ，②当 n 是偶数时 ( n | a |)n | a | a(a 0) ，当 n 是奇数时 ( n a )n a ；
a( a 0)
分数指数幂与根式的关系规定：
n
m an (a
①正分数指数幂
am
0,
N ,且 m
1) ，
n
1n ( a
②正分数指数幂
a m
0,
N ,且 m
1) ；
a m
对数及对数的运算性质：
①定义：如果
ab
N ( a