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圆锥曲线与方程
考纲导读
1．掌握（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点；
（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，）
变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程
(1) 和椭圆共准线，且离心率为．
(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点
．
例2. 点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2求：
(1) 椭圆的方程；(2) △PF1F2的面积．
解：（1）法一：令F1(－C，0)，F2(C，0)
∵ PF1⊥PF2，∴ ＝－1即，解得c＝5
∴ 椭圆的方程为
∵ 点P（3，4）在椭圆上，∴
解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴ a2＝5舍去.
故所求椭圆的方程为.
法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一)
（2）由焦半径公式：
| PF1 |＝a＋ex＝3＋×3＝4
| PF2 |＝a－ex＝3－×3＝2
∴ ＝| PF1 |·| PF2 |＝×4×2＝20
变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.
∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r
∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知
|OA|=
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.
评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
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（2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（3）求的最大值和最小值．
解：（1）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：．
解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，， ∴ ． …………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为 ． …………4分
（2），
圆过点O、，
圆心M在直线上．
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
（3） 由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根．
设，.
, ………………………………11分
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=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋.
(1)求W的方程；
(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（3）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ . ∴ .
∴ W: . …
(2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得. ①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得