文档介绍：概率论与数理统计第四章
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在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应随 机变量的函数的情况。
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例6
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例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
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四、数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C;
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
（诸Xi相互独立时）
请注意:
由E(XY)=E(X)E(Y)
不一定能推出X,Y
独立
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五、数学期望性质的应用
例8 求二项分布的数学期望
若 X~B(n,p)，
则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
现在我们来求X的数学期望 .
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可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p.
X~B(n,p),
若设
则 X= X1+X2+…+Xn
= np
i=1,2，…，n
因为 P(Xi =1)= p,
P(Xi =0)= 1-p
所以 E(X)=
则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
E(Xi)=
= p
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本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随
机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求
数学期望的,此方法具有一定的意义.
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六、小结
这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.
接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：
方差
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第二节 方差
方差的定义
方差的计算
方差的性质
切比雪夫不等式
小结
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上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.
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由此可见,,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到
这个数字特征就是我们这一节要介绍的
方差
能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.
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一、方差的定义
设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称
E[(X-E(X)]2
为 X 的方差.
记为D(X)或Var(X)，即
D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2
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若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。
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X为离散型，
分布率
P{X=xk}=pk
由定义知，方差是随机变量 X 的函数
g(X)=[X-E(X)]2
的数学期望 .
二、方差的计算
X为连续型，X概率密度f(x)
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计算方差的一个简化公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
展开
证：D(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望
性质
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例1
设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为
求D(X) .
解
由公式
因此,0-1分布
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例2
解
X的分布率为
上节已算得
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因此,泊松分布
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例3
解
因此,均匀分布
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例4
设随机变量X服从指数分布,其概率密度为
解
由此可知,指数分布
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三、方差的性质